单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设总体 $X \sim B(m, \theta), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, 则 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=$
$\text{A.}$ $(m-1) n \theta(1-\theta)$.
$\text{B.}$ $m(n-1) \theta(1-\theta)$.
$\text{C.}$ $(m-1)(n-1) \theta(1-\theta)$.
$\text{D.}$ $m n \theta(1-\theta)$.
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布, $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自该总体的简单随机样本, 则对于统计量 $T_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, T_2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1} X_i+\frac{1}{n} X_n$, 有
$\text{A.}$ $E\left(T_1\right)>E\left(T_2\right), D\left(T_1\right)>D\left(T_2\right)$.
$\text{B.}$ $E\left(T_1\right)>E\left(T_2\right), D\left(T_1\right) < D\left(T_2\right)$.
$\text{C.}$ $E\left(T_1\right) < E\left(T_2\right), D\left(T_1\right)>D\left(T_2\right)$.
$\text{D.}$ $E\left(T_1\right) < E\left(T_2\right), D\left(T_1\right) < D\left(T_2\right)$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 则数学期望 $E\left\{\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)\left[\sum_{j=1}^n\left(n X_j-\sum_{k=1}^n X_k\right)^2\right]\right\}$ 等于
$\text{A.}$ $n^3(n-1) \mu \cdot \sigma^2$.
$\text{B.}$ $n(n-1) \mu \cdot \sigma^2$.
$\text{C.}$ $n^2(n-1) \mu \cdot \sigma^2$.
$\text{D.}$ $n^3(n-1) \mu \cdot \sigma$.
设 $X_1, X_2, X_3$ 为来白正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 则统计量 $S=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}\left|X_3\right|}$服从的分布为
$\text{A.}$ $F(1,1)$.
$\text{B.}$ $F(2,1)$.
$\text{C.}$ $t(1)$.
$\text{D.}$ $t(2)$.
$X_1, \cdots, X_n$ 是取自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $S^2$ 为样本方差, 则可以作出服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布的随机变量为
$\text{A.}$ $\frac{\bar{X}^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{n \bar{X}^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$.
$\text{C.}$ $\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$.
假设随机变量 $X \sim N\left(1,2^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 是样本均值, 已知 $Y=a \bar{X}+b \sim N(0,1)$, 则
$\text{A.}$ $a=-5, b=5$.
$\text{B.}$ $a=5, b=5$.
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{5}, b=-\frac{1}{5}$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{5}, b=\frac{1}{5}$.
设总体 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^2\right), X_1, \cdots, X_n$ 与 $Y_1, \cdots, Y_n$ 分别来自总体 $X$ 与 $Y$ 容量都为 $n$ 的两个相互独立简单随机样本, 样本均值和方差分别为 $\bar{X}$, $S_X^2, \bar{Y}, S_Y^2$ 。则
$\text{A.}$ $\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(0, \sigma^2\right)$.
$\text{B.}$ $S_X^2+S_Y^2 \sim \chi^2(2 n-2)$.
$\text{C.}$ $\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_X^2+S_Y^2}} \sim t(2 n-2)$.
$\text{D.}$ $\frac{S_X^2}{S_Y^2} \sim F(n-1, n-1)$.
设随机变量 $X \sim t(n)(n>1), Y=\frac{1}{X^2}$, 则
$\text{A.}$ $Y \sim \chi^2(n)$.
$\text{B.}$ $Y \sim \chi^2(n-1)$.
$\text{C.}$ $Y \sim F(n, 1)$.
$\text{D.}$ $Y \sim F(1, n)$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 是样本均值, 记
$$
\begin{array}{ll}
S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, & S_2^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \\
S_3^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2, & S_k^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2,
\end{array}
$$
则服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量是
$\text{A.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_1 / \sqrt{n-1}}$.
$\text{B.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_2 / \sqrt{n-1}}$.
$\text{C.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_3 / \sqrt{n}}$.
$\text{D.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_4 / \sqrt{n}}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_8$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_{10}$ 分别是来自于正态总体 $N(-1,4)$ 和 $N(2,5)$的样本, 且相互独立, $S_1^2, S_2^2$ 分别为两样本方差, 则服从 $F(7,9)$ 的统计量是
$\text{A.}$ $\frac{2 S_1^2}{5 S_2^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{5 S_1^2}{4 S_2^2}$.
$\text{C.}$ $\frac{4 S_2^2}{5 S_1^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{5 S_1^2}{2 S_2^2}$.