概率论与数理统计基础训练（抽样与分布）

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概率论与数理统计基础训练（抽样与分布）

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设总体

X \sim B (m, θ), X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自该总体的简单随机样本,

\bar{X}

为样本均值, 则

E [\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}] =

A.

(m - 1) n θ (1 - θ)

B.

m (n - 1) θ (1 - θ)

C.

(m - 1) (n - 1) θ (1 - θ)

D.

m n θ (1 - θ)

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2. 设总体

X

服从参数为

λ (λ > 0)

的泊松分布,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n ⩾ 2)

为来自该总体的简单随机样本, 则对于统计量

T_{1} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, T_{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n - 1} X_{i} + \frac{1}{n} X_{n}

, 有

A.

E (T_{1}) > E (T_{2}), D (T_{1}) > D (T_{2})

B.

E (T_{1}) > E (T_{2}), D (T_{1}) < D (T_{2})

C.

E (T_{1}) < E (T_{2}), D (T_{1}) > D (T_{2})

D.

E (T_{1}) < E (T_{2}), D (T_{1}) < D (T_{2})

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3. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本, 则数学期望

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) [\sum_{j = 1}^{n} {(n X_{j} - \sum_{k = 1}^{n} X_{k})}^{2}]}

等于

A.

n^{3} (n - 1) μ \cdot σ^{2}

B.

n (n - 1) μ \cdot σ^{2}

C.

n^{2} (n - 1) μ \cdot σ^{2}

D.

n^{3} (n - 1) μ \cdot σ

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4. 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}

为来白正态总体

N (0, σ^{2})

的简单随机样本, 则统计量

S = \frac{X_{1} - X_{2}}{\sqrt{2} | X_{3} |}

服从的分布为

A.

F (1, 1)

B.

F (2, 1)

C.

t (1)

D.

t (2)

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X_{1}, \dots, X_{n}

是取自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本,

\bar{X}

为样本均值,

S^{2}

为样本方差, 则可以作出服从自由度为

n

的

χ^{2}

分布的随机变量为

A.

\frac{{\bar{X}}^{2}}{σ^{2}} + \frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}}

B.

\frac{n {\bar{X}}^{2}}{σ^{2}} + \frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}}

C.

\frac{(\bar{X} - μ)^{2}}{σ^{2}} + \frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}}

D.

\frac{n (\bar{X} - μ)^{2}}{σ^{2}} + \frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}}

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6. 假设随机变量

X \sim N (1, 2^{2}), X_{1}, X_{2}, \dots, X_{100}

是来自总体

X

的简单随机样本,

\bar{X}

是样本均值, 已知

Y = a \bar{X} + b \sim N (0, 1)

, 则

A.

a = - 5, b = 5

B.

a = 5, b = 5

C.

a = \frac{1}{5}, b = - \frac{1}{5}

D.

a = - \frac{1}{5}, b = \frac{1}{5}

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7. 设总体

X

与

Y

都服从正态分布

N (0, σ^{2}), X_{1}, \dots, X_{n}

与

Y_{1}, \dots, Y_{n}

分别来自总体

X

与

Y

容量都为

n

的两个相互独立简单随机样本, 样本均值和方差分别为

\bar{X}

S_{X}^{2}, \bar{Y}, S_{Y}^{2}

。则

A.

\bar{X} - \bar{Y} \sim N (0, σ^{2})

B.

S_{X}^{2} + S_{Y}^{2} \sim χ^{2} (2 n - 2)

C.

\frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{S_{X}^{2} + S_{Y}^{2}}} \sim t (2 n - 2)

D.

\frac{S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}} \sim F (n - 1, n - 1)

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8. 设随机变量

X \sim t (n) (n > 1), Y = \frac{1}{X^{2}}

, 则

A.

Y \sim χ^{2} (n)

B.

Y \sim χ^{2} (n - 1)

C.

Y \sim F (n, 1)

D.

Y \sim F (1, n)

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9. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本,

\bar{X}

是样本均值, 记

\begin{array}{ll} S_{1}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}, & S_{2}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}, \\ S_{3}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2}, & S_{k}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2}, \end{array}

则服从自由度为

n - 1

的

t

分布的随机变量是

A.

t = \frac{\bar{X} - μ}{S_{1} / \sqrt{n - 1}}

B.

t = \frac{\bar{X} - μ}{S_{2} / \sqrt{n - 1}}

C.

t = \frac{\bar{X} - μ}{S_{3} / \sqrt{n}}

D.

t = \frac{\bar{X} - μ}{S_{4} / \sqrt{n}}

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10. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{8}

和

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{10}

分别是来自于正态总体

N (- 1, 4)

和

N (2, 5)

的样本, 且相互独立,

S_{1}^{2}, S_{2}^{2}

分别为两样本方差, 则服从

F (7, 9)

的统计量是

A.

\frac{2 S_{1}^{2}}{5 S_{2}^{2}}

B.

\frac{5 S_{1}^{2}}{4 S_{2}^{2}}

C.

\frac{4 S_{2}^{2}}{5 S_{1}^{2}}

D.

\frac{5 S_{1}^{2}}{2 S_{2}^{2}}

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