单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知某扇形的面积为 $2 \pi$ ，圆心角为 $\frac{\pi}{4}$ ，则该扇形的半径为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 6
设命题 $p: \forall a \in R$ ，函数 $f(x)=a^x-a^{-x}$ 为奇函数，则 $\neg p$ ：
$\text{A.}$ $\forall a \in R$ ，函数 $f(x)=a^x-a^{-x}$ 为偶函数
$\text{B.}$ $\exists a \in R$ ，函数 $f(x)=a^x-a^{-x}$ 为偶函数
$\text{C.}$ $\forall a \in R$ ，函数 $f(x)=a^x-a^{-x}$ 不为奇函数
$\text{D.}$ $\exists a \in R$ ，函数 $f(x)=a^x-a^{-x}$ 不为奇函数
已知向量 $\overrightarrow{A B}=(2,-1), \overrightarrow{C D}=(-1,3)$ ，则 $\langle\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}\rangle=$（ ）
$\text{A.}$ $\frac{3 \pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
已知锐角 $\alpha$ 满足 $\frac{1}{\cos ^2(\pi+\alpha)}+\frac{3}{\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)}=4$ ．则 $\frac{1}{\cos \alpha}=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 2
已知函数 $f(x)=m \times 3^x+n$ 的值域为 $(1,+\infty)$ ，且 $f(0)=2$ ，则 $m+2 n=$（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $(b+c)^2=a^2+4 b c \sin a^2\left(\frac{A}{2}\right)$ ，则 $\triangle A B C$ 为
$\text{A.}$ 锐角三角形
$\text{B.}$ 直角三角形
$\text{C.}$ 针角三角形
$\text{D.}$ 等腰三角形
已知某种计算机程序处理数据量为 $N$ 的数据时，处理时间为 $t=t_0 e^{\frac{N}{N_0}-1}$（单位：$s$ ），其中 $N_0, t_0$ 均为常数．当 $N_1=300$ 时，$t_1=29.556 s$ ；当 $N_2=400$ 时，$t_2=80.342 s$ ，则 $t_0$ 约为（） （附：$e \approx 2.718, e^2 \approx 7.389, e^5 \approx 148.413$ ）
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 3.5
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 4.5
已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{c} \cdot(\vec{a}+\vec{b})=0, \vec{a} \cdot \vec{c}=|\vec{c}|=1$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ ，则 $|\vec{a}-\vec{b}|$ 的最小值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
方形区域边缘时便会沿反方向按原路返回，已知角色可以运动到正方形区域内的任一位置，若修改玩家控制角色时的运动方向，则修改后角色依然可以运动到正方形区域内的任一位置的方向有
$\text{A.}$ $\vec{a}-\vec{b}$ 和 $\vec{b}-\vec{a}$ 的方向
$\text{B.}$ $\vec{a}+\vec{b}$ 和 $\vec{a}-\vec{b}$ 的方向
$\text{C.}$ $\vec{a}-2 \vec{b}$ 和 $2 \vec{a}-\vec{b}$ 的方向
$\text{D.}$ $\vec{a}-2 \vec{b}$ 和 $4 \vec{b}-2 \vec{a}$ 的方向
已知函数 $f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$ ，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 的定义域为 $\{x \mid x \neq \pm 1\}$
$\text{B.}$ $f(x)$ 为奇函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 内单调递减
$\text{D.}$ $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)(x \neq 0)$
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ．已知 $A=3 B$ ，则
$\text{A.}$ $\sin B \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$
$\text{B.}$ $a < 3 b$
$\text{C.}$ $c=\sqrt{\frac{a+b}{b}}(a-b)$
$\text{D.}$ 若 $a 、 b 、 c$ 均为正整数，则 $\triangle A B C$ 周长的最小值为 18
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知幂函数 $f(x)=\left(2 a^2+a\right) x^{a-\frac{1}{4}}$ 在定义域内单调递增，则 $a=$
已知平面向量 $\vec{a}=(1, y), \vec{b}=(x,-2)$ ，且 $\vec{a} \perp \vec{b}$ ，则 $\frac{x}{2 x y+1}$ 的最小值为
在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称 $|M|$ 为集合 $M$ 内元素的个数，定义 $M_J(A, B)=1-\frac{|A \cap B|}{|A \cup B|}$ 为集合 $A, B$ 之间的杰卡德距离．现有两个文本集合 $W_1, W_2$ ，若 $\left|W_1\right|= 2\left|W_2\right|=6$ ，则 $M_J\left(W_1, W_2\right)$ 的最小值为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$ 为一组基底向量，其中 $\overrightarrow{A B}=3 \overrightarrow{e_1}-2 \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{B C}=4 \overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{C D}=8 \overrightarrow{e_1}-9 \overrightarrow{e_2}$ ．
（1）探究 $A, B, D$ 三点是否共线，若共线，给出证明；若不共线，说明理由；
（2）若 $2 \lambda \overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$ 与 $\overrightarrow{e_1}+\lambda \overrightarrow{e_2}$ 共线，求 $\lambda$ 的值．
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $a_{\sin ^B} B-\sqrt{3} b \cos ^A=0$ ．
（1）求 $A$ ；
（2）若 $a=\sqrt{7}, b=2$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．
已知函数 $f(x)=\frac{4-x}{4+x}$ ．
（1）用定义法证明 $f(x)$ 在 $(-4,+\infty)$ 上的单调性；
（2）若函数 $g(x)=\log _a f(x)$ ，且 $g(x)$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最小值为 -1 ，求 $a$ ．
如图，已知半径为 2 的扇形 $A O B$ 的圆心角为 $\frac{\pi}{2}, C$ 为 $O A$ 的中点，$D$ 是 $\overparen{A B}$ 上一动点．
（1）求 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{O D}$ 的取值范围；
（2）当 $D$ 为 $\overparen{A B}$ 的中点时，用 $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}$ 表示 $\overrightarrow{C D}$ ；
（3）若 $\overrightarrow{C D}=x \overrightarrow{C A}+y \overrightarrow{C B}$ ，求 $x+y$ 的最大值．
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f(x)$ 的图像是一条连续不断的曲线，设 $n \in N$ ，若对于任意的 $x$ ，均有 $f(x) f(x+1) \cdots f(x+n)=f(x)+f(x+1)+\cdots+f(x+n)>0$ ，则称 $f(x)$ 是 $n$－等和积函数．
（1）若 $f(x)$ 是 1 一等和积函数；
（i）证明：$f(x)>0$ ；
（ii）证明：$f(x+2)=f(x)$ ；
（2）若 $f(x)$ 是 2 －等和积函数，证明：函数 $y=f(x)-\sqrt{3}$ 在 0,2025 ）上至少有 1350 个零点．