如图，已知半径为 2 的扇形 $A O B$ 的圆心角为 $\frac{\pi}{2}, C$ 为 $O A$ 的中点，$D$ 是 $\overparen{A B}$ 上一动点．
（1）求 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{O D}$ 的取值范围；
（2）当 $D$ 为 $\overparen{A B}$ 的中点时，用 $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}$ 表示 $\overrightarrow{C D}$ ；
（3）若 $\overrightarrow{C D}=x \overrightarrow{C A}+y \overrightarrow{C B}$ ，求 $x+y$ 的最大值．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$