【30773】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 下列结论正确的个数是 $\qquad$个． （1）$n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量是 $A$ 可相似对角化的充要条件． （2）$\lambda$ 是方阵 $A$ 的 $m$ 重特征值且 $m=n-r( A -\lambda E )$ 是 $A$ 可相似对角化的充要条件． （3）若 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $A$ 可相似对角化． （4）若方阵 $A$ 是实对称矩阵，则 $A$ 可相似对角化． （5）若方阵 $A$ 的秩为 1 且 $\operatorname{tr}( A ) \neq 0$ ，则 $A$ 可相似对角化． （6）若 $n$ 阶方阵 $A$ 可相似对角化，则 $A$ 的多项式 $f( A )$ 也可相似对角化． （7）若 $n$ 阶方阵 $A$ 可相似对角化，则 $A ^T$ 也可相似对角化． （8）若 $n$ 阶方阵 $A$ 可相似对角化且 $A$ 可逆，则 $A ^{-1}, A ^*, A ^{-1}+ A ^*$ 也可以相似对角化． （9）初等矩阵必可相似对角化．

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【30772】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 设 $A =\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -6 & 2\end{array}\right)$ ，试判定 $A , B$ 是否相似．若相似，求可逆矩阵 $P$ ，使 $P ^{-1} A P = B$ 。

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【30771】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 设 $n$ 阶矩阵 $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)$ ，若 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _{n-1}$ 线性相关， $\alpha _2$ ， $\alpha _3, \cdots, \alpha _n$ 线性无关，令向量 $\beta = \alpha _1+ \alpha _2+\cdots+ \alpha _n$ ．证明： （1）方程组 $A x = \beta$ 有无穷多解． （2）如果 $\left(k_1, k_2, \cdots, k_n\right)^{ T }$ 是 $A x = \beta$ 的解，则必有 $k_n=1$ ．

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【30770】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 设 $A , B$ 是 $3 \times 4$ 矩阵， $A x = 0$ 有基础解系 $\xi _1, \xi _2, \xi _3, B x = 0$ 有基础解系 $\eta _1, \eta _2$ ． （1）证明 $A x = 0$ 和 $B x = 0$ 有非零公共解； （2）若 $\xi _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), \xi _2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), \xi _3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right), \eta _1=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 7 \\ 14\end{array}\right), \eta _2=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 5 \\ 10\end{array}\right)$ ，求 $A x = 0$ 和 $B x = 0$ 的非零公共解．

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【30769】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 设 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & a \\ 1 & a & 0\end{array}\right), B$ 是 3 阶非零矩阵，满足 $B A = O$ ，则矩阵 $B =$ $\qquad$ ．

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【30768】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 单选题 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，对于齐次线性方程组（I） $A ^n x = 0$ 和（II） $A ^{n+1} x = 0$ ，则必有

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【30767】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 单选题 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则下列 4 个命题 （1）若 $r( A )=m$ ，则非齐次线性方程组 $A x = b$ 必有解； （2）若 $r( A )=m$ ，则齐次线性方程组 $A x = 0$ 只有零解； （3）若 $r( A )=n$ ，则非齐次线性方程组 $A x = b$ 有唯一解； （4）若 $r( A )=n$ ，则齐次线性方程组 $A x = 0$ 只有零解中正确的是

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【30766】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 填空题 设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -1 & a & 1 \\ -1 & 1 & a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -a-1 \\ 2 & a & -2\end{array}\right)$ ．当 $a$ 为何值时，方程 $X A = B$无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时，求此方程．

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【30765】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 填空题 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 为实对称矩阵，则下列结论正确的个数是 $\qquad$个． （1）不同特征值对应的特征向量是正交的． （2）所有特征值都是实数，所有特征向量都是实特征向量． （3）必可相似对角化． （4）若 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的 $k$ 重特征值，则秩 $r( A -\lambda E )=n-k$ ． （5）矩阵 $A$ 的非零特征值个数等于矩阵 $A$ 的秩． （6）矩阵 $A$ 的非零特征值个数小于等于 $r( A )$ 。 （7）若矩阵 $A$ 可相似对角化，则矩阵 $A$ 的非零特征值个数等于 $r( A )$ ．

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【30764】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 证明题 已知 $n$ 阶矩阵 $A = \alpha \beta ^{ T }$ ，其中 $\alpha , \beta$ 为 $n$ 维非零列向量． （1）证明：矩阵 $A$ 的秩 $r( A )=1$ ． （2）证明：矩阵 $A$ 的迹 $\operatorname{tr}( A )= \alpha ^{ T } \beta = \beta ^{ T } \alpha$ ． （3）证明： $A ^n=[\operatorname{tr}( A )]^{n-1} \cdot A$ ． （4）证明： $A$ 的特征值为 $\lambda_1=\operatorname{tr}( A ), \lambda_2=\lambda_3=\cdots=\lambda_n=0$ ，且 $\lambda_1$ 的特征向量为 $\alpha$ ． （5）证明：若 $\operatorname{tr}( A ) \neq 0$ ，则矩阵 $A$ 可相似对角化． （6）若 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B , r( A )=r( B )=1$ 且 $\operatorname{tr}( A )=\operatorname{tr}( B ) \neq 0$ ，证明： $A$ 与 $B$ 相似．

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