【30783】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 三元二次型 $A$ 的主对角线元素之和为 $3, A B + B = O$ ，其中 $B =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -2\end{array}\right)$ ． （1）求在正交变换下所得到的标准形； （2）求二次型的表达式； （3）证明 $r( A + E )+r( A - E )=4$ ； （4）若 $\beta =(4,5,0)^{ T }$ ，求 $A ^n \beta$ ．

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【30782】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设二次型 $$ x ^{T} A x =x_1^2+4 x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 b x_1 x_3+2 c x_2 x_3, $$ 矩阵 $A$ 满足 $A B = O$ ，其中 $B =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 5\end{array}\right)$ ． （1）用正交变换化二次型 $x ^T A x$ 为标准形，并写出所用正交变换； （2）求 $( A -3 E )^6$ ．

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【30781】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $A ^2= E$ ，且秩 $r( A + E )=k<n$ ． （1）求二次型 $x ^{ T } A x$ 的规范形； （2）证明 $B = E + A + A ^2+ A ^3+ A ^4$ 是正定矩阵，并求行列式 $| B |$ 的值．

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【30780】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-4 x_1 x_2-4 x_1 x_3+2 a x_2 x_3(a<0)$ 经正交变换 $x = Q y$ 化为标准形 $f=3 y_1^2+3 y_2^2+b y_3^2$ ． （1）求实数 $a, b$ ； （2）求正交阵 $Q$ ； （3）若 $x ^{ T } x =2$ ，求 $f$ 的最大值．

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【30779】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & a & 4-a\end{array}\right)$ ，且 $r( A )=2$ ，则 $A ^* x = 0$ 的通解为 $\qquad$ ．

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【30778】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵， $A ^*$ 为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，$r( A )+r\left( A ^*\right)=n, A ^*$ 的各行元素之和均为 3 ，求 $A ^* x = 0$ 的通解．

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【30777】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 已知 $A$ 为 $3 \times 3$ 方阵， $\alpha _1$ 是 $A$ 关于 $\lambda=1$ 的特征向量， $\alpha _2$ 是 $A x = 0$ 的非零解， $\alpha _3$ 满足 $A \alpha _3= \alpha _1- \alpha _2+ \alpha _3$ ． （1）证明 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关； （2）求 $A$ 的特征值、特征向量； （3）判断 $A$ 能否相似对角化．

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【30776】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 设 $A =\left(\begin{array}{ccc}13 & 16 & 16 \\ -5 & -7 & -6 \\ -6 & -8 & -7\end{array}\right)$ ，且 $B = P ^{-1} A P$ ． （1）求矩阵 $A$ 的特征值与特征向量； （2）当 $P =\left(\begin{array}{ccc}-4 & -3 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)$ 时，求矩阵 $B$ ； （3）求 $A ^{100}$ ．

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【30775】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 已知 $A$ 是 3 阶矩阵， $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是线性无关的 3 维列向量，满足 $$ A \alpha _1=- \alpha _1-3 \alpha _2-3 \alpha _3, A \alpha _2=4 \alpha _1+4 \alpha _2+ \alpha _3, A \alpha _3=-2 \alpha _1+3 \alpha _3 . $$ （1）求矩阵 $A$ 的特征值； （2）求矩阵 $A$ 的特征向量； （3）求矩阵 $A ^*-6 E$ 的秩．

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【30774】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 设 $A$ 为 3 阶矩阵，满足 $A B =-2 B , C A ^{ T }=2 C$ ，其中 $$ B =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{array}\right), C =\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ -1 & 2 & -1 \end{array}\right) $$ 求矩阵 $A$ ．

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