【30793】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $$ f(x, y)= \begin{cases}1, & 0<x<1,0<y<2 x, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} $$ 求：（1）$(X, Y)$ 的边缘概率密度 $f_X(x), f_Y(y)$ ； （2）$Z=2 X-Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$ ； （3）$P\left\{\left.Y \leqslant \frac{1}{2} \right\rvert\, X \leqslant \frac{1}{2}\right\}$ ．

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【30792】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $$ f(x, y)= \begin{cases}C x^2 y, & 0<y<x<1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} $$ （1）试确定常数 $C$ ． （2）试求 $X, Y$ 的边缘概率密度，$X$ 与 $Y$ 是否相互独立？ （3）试求条件概率密度．

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【30791】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 单选题 在区间 $(-1,1)$ 上任意投一质点，以 $X$ 表示该质点的坐标．设该质点落在 $(-1$ ， 1）中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则

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【30790】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设随机变量 $X$ 服从泊松分布，已知 $$ E[(X-1)(X-3)]=\frac{3}{4}, $$ 则 $P\{X=3\}=$ $\qquad$ ．

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【30789】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 单选题 对任意正整数 $m, n$ ，随机变量 $X$ 都满足 $P\{X>m+n \mid X>m\}=P\{X>n\}$ ，记 $P\{X<1\}=p$ ，则下列结论中一定不正确的是

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【30788】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 单选题 设 $X, Y$ 为随机变量，$P\{X Y \leqslant 0\}=\frac{3}{5}, P\{\max \{X, Y\}>0\}=\frac{4}{5}$ ，则 $P\{\min \{X$ ， $Y\} \leqslant 0\}=$

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【30787】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设随机变量 $X \sim U(-1,2)$ ， $$ X_1=\left\{\begin{array}{ll} 1, & 0<X<2, \\ 0, & -1<X \leqslant 0, \end{array} \quad X_2= \begin{cases}1, & -1<X<1, \\ 0, & 1 \leqslant X<2 .\end{cases}\right. $$ 求：（1）$\left(X_1, X_2\right)$ 的联合概率分布； （2）$D\left(X_1 X_2\right)$ 和 $D\left(X_1+X_2\right)$ ； （3）在 $X_1+X_2=1$ 的条件下，$X_1$ 的条件概率分布．

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【30786】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，$[X]$ 表示不超过 $X$ 的最大整数．令 $Y= [X]+1$ ，求： （1）$Y$ 的概率分布； （2）$P\{Y>6 \mid Y>5\}$ ； （3）$E(X+Y)$ ．

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【30785】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 已知 $R ^3$ 的两组基 $\alpha _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha _3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 与 $\beta _1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta _2=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ ， $\beta _3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$. （1）求由基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 到基 $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 的过渡矩阵； （2）求 $\gamma =(9,6,5)^{ T }$ 在这两组基下的坐标； （3）求向量 $\delta$ ，使它在这两组基下有相同的坐标．

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【30784】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设可逆线性变换 $x = C y$［其中 $x =\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T }, y =\left(y_1, y_2, y_3\right)^{ T }, C$ 是三阶可逆矩阵了将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+9 x_2^2+3 x_3^2+8 x_1 x_2-4 x_1 x_3-10 x_2 x_3$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=2 y_1^2+3 y_2^2+6 y_3^2-4 y_1 y_2-4 y_1 y_3+8 y_2 y_3$ ．求 $C$ ．

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