【30803】 【 深圳大学 《线性代数》期末试卷以及答案】 单选题 行列式 $\left|\begin{array}{llll}a & 0 & 0 & b \\ 0 & x & y & 0 \\ 0 & u & v & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|$ 中元素 $c$ 的代数余子式是（ ）

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【30802】 【 杨超《考前必做100》道题目-76-100题】 解答题 一袋中装有黑、白两种球，$p$ 表示白球所占的比例，待检验假设为 $$ H_0: p=\frac{1}{2} ; \quad H_1: p=\frac{1}{5} . $$ 从袋中任取 4 个球（放回抽样），当白球数小于 2 时，拒绝 $H_0$ ，否则接受 $H_0$ ．试给出以下内容： （1）总体及其分布； （2）样本容量 $n$ ； （3）拒绝域； （4）犯第一类错误和第二类错误的概率。

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【30801】 【 杨超《考前必做100》道题目-76-100题】 解答题 设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\theta} e ^{-\frac{x \mu}{\theta}}, & x \geqslant \mu, \\ 0, & x<\mu,\end{array}\right.$ 其中 $\theta>0, \theta, \mu$ 为参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本． （1）若 $\mu$ 已知，求未知参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ； （2）若 $\theta$ 已知，求未知参数 $\mu$ 的最大似然估计量 $\hat{\mu}$ ； （3）若 $\theta$ 与 $\mu$ 均未知，分别求 $\theta$ 与 $\mu$ 的矩估计量与最大似然估计量．

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【30800】 【 杨超《考前必做100》道题目-76-100题】 解答题 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的样本，$X$ 的密度函数为 $$ f(x)= \begin{cases}e^{-(x-\theta)}, & x \geqslant \theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases} $$ 其中 $\theta$ 为末知参数，$-\infty<\theta<+\infty$ ． （1）试证 $\theta$ 的最大似然估计量为 $X_{(1)}=\min _{1 \leq i \leq n}\left\{X_i\right\}$ ； （2）试证 $X_{(1)}$ 不是 $\theta$ 的无偏估计量； （3）试求出 $\theta$ 的一个无偏估计量．

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【30799】 【 杨超《考前必做100》道题目-76-100题】 解答题 设总体 $X$ 的概率密度函数为 $$ f(x ; \theta)=\frac{1}{2 \theta} e^{-\frac{|x|}{\theta}},-\infty<x<+\infty, $$ 其中 $\theta>0$ 是末知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的容量为 $n$ 的简单随机样本． （1）试求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ； （2）试证 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量； （3）试求 $D(\hat{\theta})$ ．

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【30798】 【 杨超《考前必做100》道题目-76-100题】 解答题 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 分别表示将一颗骰子接连抛两次先后出现的点数．试求齐次方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1+2 x_2+2 Y x_3=0 \\ x_1+X x_2+2 x_3=0 \\ 2 x_1+4 x_2+X^2 x_3=0 \end{array}\right. $$ 的解空间的维数的数学期望和方差．

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【30797】 【 杨超《考前必做100》道题目-76-100题】 解答题 设 $X, Y$ 相互独立，均服从 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，求 $E[\min \{X, Y\}], E[\max \{X, Y\}]$ ．

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【30796】 【 杨超《考前必做100》道题目-76-100题】 解答题 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{4}+a x y, & |x| \leqslant 1,|y| \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, } \end{array}\right. $$ 其中常数 $a$ 满足 $|a| \leqslant \frac{1}{4}$ ．记随机事件 $A=\{X \geqslant 0\}, B=\{Y \geqslant 0\}$ ，证明以下三个结论相互等价： （1）$A, B$ 相互独立；（2）$X$ 与 $Y$ 不相关；（3）$X$ 与 $Y$ 相互独立．

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【30795】 【 杨超《考前必做100》道题目-76-100题】 解答题 设 $X$ 与 $Y$ 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 $$ \begin{aligned} & f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{array}\right. \\ & f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc} \mu e^{-\mu y}, & y>0 \\ 0, & y \leqslant 0 \end{array}\right. \end{aligned} $$ 其中 $\lambda>0, \mu>0$ 为常数．引人随机变量 $$ Z= \begin{cases}1, & X \leqslant Y \\ 0, & X>Y .\end{cases} $$ （1）试求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ； （2）试求 $Z$ 的概率分布和分布函数．

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【30794】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的指数分布，$Y$ 服从 $B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立．令 $Z=X-Y$ ，求： （1）$Z$ 的概率密度 $f_Z(z)$ ； （2）$E(|X-Y|), D(|X-Y|)$ ．

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