【30763】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 填空题 设 $\alpha _1=(1,2,0)^{ T }, \alpha _2=(1, a+2,-3 a)^{ T }, \alpha _3=(-1,-b-2, a+2 b)^{ T }$ ， $\beta =(1,3,-3)^{ T } . a, b$ 为何值时： （1） $\beta$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示； （2） $\beta$ 可以由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 唯一线性表示，并求出表示式； （3） $\beta$ 可以由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示，但表示不唯一，并求出表示式．

---

【30762】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 填空题 已知 $A ^2=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right), A ^5=\left(\begin{array}{ccc}8 & 5 & 0 \\ 5 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -32\end{array}\right)$ ，那么矩阵 $A =$ $\qquad$ .

---

【30761】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 填空题 已知 $A$ 是 3 阶矩阵， $A$ 是 $A$ 的伴随矩阵，如果矩阵 $A$ 的特征值是 $1,2,3$ ，那么矩阵（ $A ^*$ ）＊的最大特征值是 $\qquad$ ．

---

【30760】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 单选题 已知 $| A |=\left|\begin{array}{cccc}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 2\end{array}\right|=9$ ，则代数余子式 $A_{21}+A_{22}=$

---

【30759】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 （1）向量场 $u (x, y, z)=\left\{x y^2, y e ^z, x \ln \left(1+z^2\right)\right\}$ 在点 $(1,1,0)$ 处的散度 $\operatorname{div} u =$ $\qquad$ ， rot $u=$ $\qquad$ ． （2）设 $\Omega$ 由 $0 \leqslant z \leqslant 1-\sqrt{x^2+y^2}$ 所确定，则其形心坐标是 $\qquad$ ． （3）密度为 1 的旋转抛物体：$x^2+y^2 \leqslant z \leqslant 1$（记为 $\Omega$ ）绕 $z$ 轴的转动惯量 $I=$ $\qquad$ ． （4）二元函数 $f(x, y)= e ^x \sin y$ 在原点 $(0,0)$ 处的一阶泰勒公式为 $\qquad$ ．

---

【30758】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 单选题 设 $u=2 x y-z^2$ ，则 $u$ 在点 $(2,-1,1)$ 处的方向导数的最大值是（ ）．

---

【30757】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 设 $f(x), g(x)$ 具有二阶连续导数，$\oint_C\left[y^2 f(x)+2 y e ^x+2 y g(x)\right] d x+2[y g(x)+ f(x)] d y=0$ ，其中 $C$ 为平面上任一简单封闭曲线． （I）求 $f(x), g(x)$ ，使 $f(0)=g(0)=0$ ； （II）计算沿任一条曲线从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的积分．

---

【30756】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 （1）设 $f(x)$ 具有连续的一阶导数，分别求满足下列各条件的函数 $f(x)$ ． （I）矢量函数 $A =\left[x e ^x+f(x)\right] y i +f(x) j$ 是某个单值函数 $u(x, y)$ 的梯度，且 $f(0)=0$ ． （II）设 $l$ 为与直线 $y= \pm x$ 不相交的任意闭曲线，且 $f(1)=0$ ， $$ \oint_l\left[2 y-y f\left(x^2-y^2\right)\right] d x+x f\left(x^2-y^2\right) d y=0 $$ （III）设 $l$ 为 $x>0$ 的右半平面内从点 $A$ 到点 $B$ 的一条分段光滑曲线，且 $I= \int_l \frac{f(y) d x+2 x y d y}{2 x^2+y^4}$ 与路径无关．

---

【30755】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 （1）设 $\Sigma$ 为上半球面 $x^2+y^2+z^2=1(z \geqslant 0)$ 的上侧，连续函数 $f(x, y)=2 x y^2+x^2+\iint_{\Sigma} x^3 d y d z+y^3 d z d x+\left[z f(x, y)+z^3+1\right] d x d y$ ，求 $f(x, y)$ 。 （2）已知点 $A(1,0,0)$ 与点 $B(1,1,1), \Sigma$ 是由 $A B$ 绕 $O z$ 轴旋转一周而成的旋转曲面介于平面 $z=0$ 与 $z=1$ 之间部分的外侧，函数 $f(u)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有连续导数，计算 $$ I=\iint_{\Sigma}[x f(x y)-2 x] d y d z+\left[y^2-y f(x y)\right] d z d x+(z+1)^2 d x d y . $$

---

【30754】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 设一企业生产某产品的需求量 $Q$ 对价格 $P$ 的弹性 $\eta=2 P^2$ ，而市场对该产品的最大需求量为 1 （万件），该产品的生产成本为 $\frac{1}{2} Q+1$ ． （1）求需求函数． （2）当 $P \rightarrow+\infty$ 时需求量是否趋于稳定？ （3）设该产品的产量等于需求量，求企业获得最大利润时的需求量．

---

... 916 917 918 919 920  ...