【30733】 【 随机抽样的方法、用样本估计总体】 单选题 如图为 2017－2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（ ） [img=/uploads/2025-08/847e61.jpg][/img]

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【30732】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 （1）先讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ 的敛散性，又已知 $x_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}- \ln (1+n)$ ，证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛； （2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\ln n}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)$ ．

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【30731】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设数列 $a_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} d x$ ． （1）证明：$\frac{1}{2(n+1)} \leqslant a_n \leqslant \frac{1}{2 n}, n=1,2, \cdots$ ； （2）讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{2 n}-\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} d x\right)$ 的敛散性，若收敛，请说明是条件收敛还是绝对收敛．

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【30730】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 计算二重积分 $\iint_D \frac{1-x^3 y^2}{\left(y+2 \sqrt{1-x^2}\right)^2} d x d y$ ，其中 $D: x^2+y^2 \leqslant 1,-y \leqslant x \leqslant y$ ．

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【30729】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 在第一卦限内作椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的切平面，使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点的坐标．

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【30728】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上有连续的二阶导数，$f(1)=0, f^{\prime}(1)=1, z=\left(x^2+\right. \left.y^2\right) f\left(x^2+y^2\right)$ 满足 $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0 $$ 求：（1）$f(x)$ 的表达式； （2）$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上的最大值； （3）$f(x)$ 的拐点和渐近线； （4）在 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{4}, \cdots, \sqrt[n]{n}$ 中，求出最大一个数； （5）求证：当 $e <x_1<x_2$ 时，$\frac{x_1}{x_2}<\frac{\ln x_1}{\ln x_2}<\frac{x_2}{x_1}$ ； （6）$y=f(x)(x \geqslant 1)$ 绕 $x$ 轴旋转一周形成的体积 $V$ ．

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【30727】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设 $z=z(x, y)$ 存在二阶连续的偏导数，且 $z(x, y) \neq 0$ ，证明：$z(x, y)= f(x) g(y)$ 的充分必要条件是 $z(x, y) \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y}$ ．

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【30726】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 试求函数 $f(x, y)=1-6 x+3 y+4 x^2+18\left|x^2+y^2-4\right|$ 在平面区域 $\sigma=\{(x$ ， y） $\left.\mid x^2+y^2 \leqslant 9\right\}$ 上的平均值．

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【30725】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设函数 $f(x, y)$ 可微，$\frac{\partial f}{\partial x}=-f(x, y), f\left(0, \frac{\pi}{2}\right)=1$ ，且 满 足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{f\left(0, y+\frac{1}{n}\right)}{f(0, y)}\right]^n= e ^{\cot y}$ ，求 $f(x, y)$ ．

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【30724】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设一薄板平面区域 $\sigma$ 由 $\sigma_1$ 与 $\sigma_2$ 组成，其中，$\sigma_1=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant a-x, 0 \leqslant x \leqslant a\}, \sigma_2=\{(x, y) \mid a \leqslant x+y \leqslant b$ ， $x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ，如图 1－1 所示．它的面密度 $$ \mu(x, y)= \begin{cases}e^{-(x+y)}, & (x, y) \in \sigma_1, \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \in \sigma_2 .\end{cases} $$ 试求： （1）该薄板 $\sigma$ 的质量 $m$ ； （2）薄板 $\sigma_1$ 关于 $y$ 轴的转动惯量 $J_1$ 与 $\sigma_2$ 关于原点的转动惯量 $J_2$ ． [img=/uploads/2025-08/e8a4ba.jpg][/img]

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