【31581】 【 余丙森概率论与数理统计基础训练】 解答题 设 $X, Y$ 的联合密度函数为 $f(x, y)= \begin{cases}e^{-(x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$求： （I）求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ； （II）求 $Z=2 X-Y$ 的密度函数； （III）求 $E(X+Y)$ ； （IV）求联合分布函数 $F(x, y)$ ．

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【31580】 【 余丙森概率论与数理统计基础训练】 解答题 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，在 $X=x(x \in R)$ 的条件下，$Y$ 的条件概率密度为 $f_{Y \mid X}(y \mid x)=A \mathrm{e}^{-(y-x)^2}, y \in R$ ， 求：（I）常数 $A$ ；（II）$Y$ 的边缘概率密度 $f_Y(y)$ ；（III）条件概率 $P(X>1 \mid Y=2)$ ．

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【31579】 【 余丙森概率论与数理统计基础训练】 解答题 设 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)= \begin{cases}\frac{1}{4}, & |x| \leqslant 1, \\ \frac{1}{8}, & 1<|x| \leqslant 3, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$ 求：（I）$Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ ； （II） $\operatorname{Cov}(X, Y)$ ．

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【31578】 【 余丙森概率论与数理统计基础训练】 解答题 已知二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率分布为 [img=/uploads/2025-09/406910.jpg,WIDTH=300PX][/img] 分别按下列已知条件，求 $\alpha, \beta$ ． （I）如果 $P\{X+Y=1\}=0.4$ ； （II）如果 $X$ 与 $X$ 不相关； （III）已知事件 $\{X=0\}$ 与 $\{Y=1\}$ 相互独立； （IV）设 $F(x, y)$ 为 $(X, Y)$ 分布函数，且 $F\left(\frac{1}{2}, 1\right)=0.4$ ．

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【31577】 【 余丙森概率论与数理统计基础训练】 解答题 已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x|},-\infty<x<+\infty$ ，设 $Y= \begin{cases}1, & X>0, \\ -1, & X \leqslant 0 .\end{cases}$ （I）求 $X$ 的分布函数； （II）求 $Y$ 的概率分布和分布函数；

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【31576】 【 余丙森概率论与数理统计基础训练】 解答题 连续进行某项试验，每次试验只有成功和失败两个结果，当第 $k$ 次失败时，第 $k+1$次试验成功的概率为 $\frac{3}{4}$ ，且第一次试验成功与失败的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，令 $X$ 表示首次成功时的试验次数，求 $E(X)$ ．

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【31575】 【 余丙森概率论与数理统计基础训练】 填空题 （数一）设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其中 $\mu, \sigma^2$ 未知，记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, Q^2=\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ，则假设 $H_0: \mu=0$ 的 $t$ 检验统计量 $T=$ $\qquad$ ．

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【31574】 【 余丙森概率论与数理统计基础训练】 填空题 随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 相互独立同分布，且期望均为 $\mu$ ，方差均为 $\sigma^2(\sigma>0)$ ，令 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，求 $X_1$ 与 $\bar{X}$ 的相关系数 $\rho=$

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【31573】 【 余丙森概率论与数理统计基础训练】 填空题 已知 $X \sim E(2), Y \sim E(1)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立则 $E \max \{X, Y\}=$ $\qquad$

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【31572】 【 余丙森概率论与数理统计基础训练】 填空题 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x<-1, \\ \frac{5 x+7}{16}, & -1 \leqslant x<1, \\ 1, & x \geqslant 1 .\end{array}\right.$ ，则 $P\left(X^2=1\right)=$

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