【40614】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 解答题 设线性方程组为 $$ \left\{\begin{aligned} x_1-3 x_2-x_3 & =0, \\ x_1-4 x_2+a x_3 & =b, \\ 2 x_1-x_2+3 x_3 & =5 . \end{aligned}\right. $$ 问：常数 $a, b$ 取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解．

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【40613】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 解答题 已知线性空间 $\mathbb{R}^3$ 的基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵为 $\boldsymbol{P}$ ，且 $$ \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right] ; \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ 4 & 3 & 0 \end{array}\right], $$ 试求出在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下有相同坐标的全体向量．

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【40612】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 解答题 已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2-2 x_2 x_3+2 x_3 x_1$ ，求正交变换 $\boldsymbol{x}= \boldsymbol{Q y}$ ，将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形，并写出正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ ．

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【40611】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶实对称矩阵，且满足 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\mathbf{0}$ ．已知向量 $$ \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] $$ 是 $\boldsymbol{A}$ 对应特征值 $\lambda=1$ 的特征向量，求 $\boldsymbol{A}^n$ ，其中 $n$ 为自然数．

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【40610】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 解答题 设三阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足方程 $\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ，试求矩阵 $\boldsymbol{B}$ 以及行列式 $|\boldsymbol{B}|$ ，其中 $$ \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] . $$

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【40609】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 解答题 计算 $n$ 阶行列式： $$ D=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n+x_n \\ 1 & 2 & \cdots & (n-1)+x_{n-1} & n \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & 2+x_2 & \cdots & n-1 & n \\ 1+x_1 & 2 & \cdots & n-1 & n \end{array}\right], $$ 其中 $x_i \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$ 。

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【40608】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 填空题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A}^2+2 \boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}=\mathbf{0}, \lambda=1$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一重特征值，则矩阵 $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 的相似对角矩阵为 $\_\_\_\_$ ，行列式 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=$

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【40607】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 填空题 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 线性无关的解， $\boldsymbol{A}$ 为 $2 \times 3$ 的矩阵，且秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2$ ．若 $\boldsymbol{\alpha}=k \boldsymbol{\alpha}_1+l \boldsymbol{\alpha}_2$ 是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解，则常数 $k, l$ 须满足关系式

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【40606】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 填空题 若实二次型 $$ f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 \lambda x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2^2+4 x_2 x_3+4 x_3^2 $$ 为正定二次型，则常数 $\lambda$ 的取值范围为

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【40605】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 填空题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}a & \frac{2}{3} & \frac{1}{\sqrt{18}} \\ 0 & b & \frac{-4}{\sqrt{18}} \\ \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & c\end{array}\right]$ 为正交矩阵，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$ ， $b=$ $\_\_\_\_$ ，$c=$ $\_\_\_\_$

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