【40634】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第六套】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A}^2-8 \boldsymbol{A}+15 \boldsymbol{E}=0$ ，证明： $\boldsymbol{A}$ 为正定矩阵．

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【40633】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第六套】 解答题 证明任一 $n$ 阶矩阵可表为一个对称与一个反对称矩阵的和．

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【40632】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第六套】 解答题 设线性方程组 $$ \left\{\begin{aligned} x_1+x_2+x_3+x_4 & =1, \\ x_1+x_2+a x_3+x_4 & =1, \\ x_1+a x_2+x_3+x_4 & =1, \\ a x_1+x_2+x_3+x_4 & =b . \end{aligned}\right. $$ （1）$a, b$ 取何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ （2）当线性方程组有无穷多解时，求出其通解．

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【40631】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第六套】 解答题 设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 为 R 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基， $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2=2 \boldsymbol{\alpha}_1+ \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n=n \boldsymbol{\alpha}_{n-1}+\boldsymbol{\alpha}_n$ ． （1）验证 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 也为 $V$ 的一组基，并写出 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 到 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{B}$ ； （2）设 $\xi$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 下的坐标为 $(1,1, \cdots, 1)^{\mathrm{T}}$ ，求它在基 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 下的坐标．

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【40630】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第六套】 解答题 求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ ，将实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=17 x_1^2+14 x_2^2+14 x_3^2- 4 x_1 x_2-4 x_1 x_3-8 x_2 x_3$ 化为标准形，并写出正交矩阵 $Q$ 。

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【40629】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第六套】 解答题 设四维行向量 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,1,1)$ ，四阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ．求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ ，并写出 $\boldsymbol{P}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ ．

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【40628】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第六套】 解答题 设 $A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}-9 \boldsymbol{E}$ ，试求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．

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【40627】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第六套】 解答题 计算 $n$ 阶行列式： $$ D=\left|\begin{array}{ccccc} 1-x & 2 & \cdots & n-1 & n \\ 1 & 2-x & \cdots & (n-1) & n \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & 2 & \cdots & (n-1)-x & n \\ 1 & 2 & \cdots & n-1 & n-x \end{array}\right| . $$

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【40626】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第六套】 填空题 已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $2 \times 3$ 矩阵， $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解，且 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,1), \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2=(1,-1,1)$ ，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为

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【40625】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第六套】 填空题 设向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2=(1,0,1)^{\mathrm{T}}$ 都是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应特征值 $\lambda=2$的特征向量，且向量 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+3 \boldsymbol{\alpha}_2$ ，则向量 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}$

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