【39050】 【 哈工大数学系编《复变函数与积分变换同步辅导》傅里叶变换】 解答题 求函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{ll}\cos t, & |t|<\frac{\pi}{2} \\ 0, & |t|>\frac{\pi}{2}\end{array}\right.$ 的傅氏变换．并证明广义积分 $$ \int_0^{+\infty} \frac{\cos \frac{\omega \pi}{2} \cos \omega t}{1-\omega^2} \mathrm{~d} \omega=\frac{\pi}{2} \cos t, \quad|t|<\frac{\pi}{2} $$

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【39049】 【 哈工大数学系编《复变函数与积分变换同步辅导》傅里叶变换】 解答题 设函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{cc}-1, & -\frac{T}{2}<t<0, \\ 1, & 0 \leqslant t<\frac{T}{2},\end{array}\right.$ 且 $f(t+T)=f(t)$ ．试将 $f(t)$展成复数形式的傅氏级数．

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【39048】 【 深圳中学2024-2025学年度第二学期期末考试高一数学试卷】 解答题 将连续正整数 $1,2,3, \cdots, n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 从小到大排列构成一个数 $123 \cdots n, F(n)$ 为这个数的位数，例如，当 $n=12$ 时，此数为 123456789101112 ，共有 15 个数字，则 $F(12)=15$ ，现从这个数中随机取一个数字，$P(n)$ 为恰好取到 0 的概率． （1）求 $F(101), P(101)$ ； （2）当 $n \leq 2025$ 时，求 $F(n)$ 的表达式； （3）令 $f(n)$ 为这个数中数字 9 的个数，$g(n)$ 为这个数中数字 0 的个数，$h(n)=f(n)-g(n)$ ， $S=\left\{n \mid h(n)=1, n \leq 100, n \in \mathbf{N}^*\right\}$ ，求当 $n \in S$ 时 $P(n)$ 的最大值．

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【39047】 【 深圳中学2024-2025学年度第二学期期末考试高一数学试卷】 解答题 如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D, A D \perp C D, A D / / B C, P A=A D=C D=2, B C=3$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点，点 $F$ 在线段 $P C$ 上，且 $\frac{P F}{P C}=\frac{1}{3}$ ． （1）求证：平面 $P C D \perp$ 平面 $P A D$ ； （2）给出二面角 $F-A E-P$ 的平面角，并说明理由，求出二面角 $F-A E-P$ 的余弦值； （3）设点 $G$ 在线段 $P B$ 上，且 $\frac{P G}{P B}=\frac{2}{3}$ ，点 $A, E, F, G$ 是否共面？如 $A, E, F, G$ 四点共面，请证明：如果不共面，请说明理由． [img=/uploads/2026-04/92e741.jpg][/img]

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【39046】 【 深圳中学2024-2025学年度第二学期期末考试高一数学试卷】 解答题 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试．一种通常采用的测试方法如下：拿出 $n$ 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这 $n$ 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价． 现设 $n=3$ ，分别以 $a_1, a_2, a_3$ 表示第一次排序时被排为 $1,2,3$ 的三种酒在第二次排序时的序号，$\left\{a_1, a_2, a_3\right\}=\{1,2,3\}$ ，并令 $X=\left|a_1-1\right|+\left|a_2-2\right|+\left|a_3-3\right|$ ，则 $X$ 是对两次排序的偏离程度的一种描述，若两轮测试都有 $X=0$ ，则该品酒师被授予＂特级品洒师＂称号；若两轮测试都有 $X \leq 2$ ，且至少有一轮测试出现 $X \neq 0$ ，则该品酒师被授予＂一级品酒师＂称号． （1）用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的 $a_1, a_2, a_3$ 排序结果，并求出相应的 $X$ 值； [img=/uploads/2026-04/619f5b.jpg][/img] （2）没有酒味鉴别能力的品酒师甲参加了一轮测试，记事件 $A=$＂甲的测试结果 $X=0$＂，$B=$＂甲的测试结果 $X=2$＂，用集合的形式表示事件 $\overline{A \bigcup B}$ 和 $\bar{A} \cap \bar{B}$ 后可以发现 $\overline{A \bigcup B}=\bar{A} \cap \bar{B}$ ，请证明：对于任意的随机事件 $A$ 和 $B$ 都有：$\overline{A \bigcup B}=\bar{A} \cap \bar{B}$ ； （3）没有酒味鉴别能力的品酒师甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件 $E=$＂在这两年中甲至少有一次被授予一级品酒师称号＂，求 $P(E)$ ．

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【39045】 【 深圳中学2024-2025学年度第二学期期末考试高一数学试卷】 解答题 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频率分布表． [img=/uploads/2026-04/1539bf.jpg,width=500px][/img] （1）在下表中作出这些数据的频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标的平均值及中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． [img=/uploads/2026-04/5a641b.jpg,width=500px][/img]

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【39044】 【 深圳中学2024-2025学年度第二学期期末考试高一数学试卷】 解答题 如图，在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A B=A C, D, E$ 分别是棱 $B C, C C_1$ 上的点（点 $D$ 异于点 $B, C$ ），且 $A D \perp D E, F$ 为 $B_1 C_1$ 的中点． （1）求证：$A D \perp$ 平面 $B C C_1 B_1$ ； （2）求证：直线 $A_1 F / /$ 平面 $A D E$ ． [img=/uploads/2026-04/6675dc.jpg][/img]

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【39043】 【 深圳中学2024-2025学年度第二学期期末考试高一数学试卷】 填空题 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字 $1,3,5,7$ ，乙的卡片上分别标有数字 $2,4,6,8$ ，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则四轮比赛后，甲的总得分为 2 的概率为

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【39042】 【 深圳中学2024-2025学年度第二学期期末考试高一数学试卷】 填空题 某次体检， 10 位同学的身高（单位：米）分别为 $1.57,1.59,1.62,1.64,1.65,1.66,1.68,1.70,1.72$ ， 1.73 ，则这组数据的第 60 百分位数是 $\_\_\_\_$ （米）

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【39041】 【 深圳中学2024-2025学年度第二学期期末考试高一数学试卷】 填空题 以边长为 2 的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为

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