【40604】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 填空题 设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是欧氏空间的标准正交基，则模 $\left|2 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+3 \boldsymbol{\alpha}_3\right|=$

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【40603】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 单选题 若 $\boldsymbol{X}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda_0$ 的特征向量，则矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 属于 $\lambda_0$ 的特征向量为（ ）。

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【40602】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 单选题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为四阶方阵，且秩 $r(\boldsymbol{A})=4, r(\boldsymbol{B})=3, \boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵为 $\boldsymbol{A}^*$ 和 $\boldsymbol{B}^*$ ，则 $r\left(\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B}^*\right)=(\quad)$ 。

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【40601】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 单选题 设实矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{a}_{i j}\right)_{n \times n}$ ，则二次型 $$ f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n\left(a_{i 1} x_1+a_{i 2} x_2+\cdots+a_{i n} x_n\right)^2 $$ 的矩阵为（ ）。

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【40600】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 单选题 设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关， $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关，则以下命题中，不一定成立的是（ ）。

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【40599】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷第五套】 单选题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行乘以 2 为矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的（ ）为 $\boldsymbol{B}^{-1}$ ．

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【40598】 【 线性方程组求解训练】 解答题 已知下列非齐次线性方程组： （I）：$\left\{\begin{aligned} x_1+x_2-2 x_4 & =-6, \\ 4 x_1-x_2-x_3-x_4 & =1, \\ 3 x_1-x_2-x_3 & =3 ;\end{aligned}\right.$ （II）$:\left\{\begin{aligned} x_1+m x_2-x_3-x_4 & =-5, \\ n x_2-x_3-2 x_4 & =-11, \\ x_3-2 x_4 & =-t+1 .\end{aligned}\right.$ （1）求解方程组（I），用其导出组的基础解系表示其通解； （2）当方程组中的参数 $m, n, t$ 为何值时，方程组（I）与（II）同解。

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【40597】 【 线性方程组求解训练】 解答题 设四元齐次线性方程组（I）：$\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=0, \\ x_2-x_4=0,\end{array}\right.$ 又已知某齐次线性方程组（II）的通解为 $k_1[0,1,1,0]^{\mathrm{T}}+k_2[-1,2,2,1]^{\mathrm{T}}$ ． （1）求线性方程组（I）的基础解系； （2）问线性方程组（I）和（II）是否有非零公共解？若有，则求出所有的公共非零解；若没有，则说明理由．

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【40596】 【 线性方程组求解训练】 解答题 设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3, \\ x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3, \\ x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3, \\ x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3 .\end{array}\right.$ （1）证明若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不等，则此方程组无解． （2）设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ ，且已知 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 是该方程组的两个解，其中 $\boldsymbol{\beta}_1= [-1,1,1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=[1,1,-1]^{\mathrm{T}}$ ．试写出此方程组的通解．

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【40595】 【 线性方程组求解训练】 解答题 设线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1+\lambda x_2+\mu x_3+x_4=0, \\ 2 x_1+x_2+x_3+2 x_4=0, \\ 3 x_1+(2+\lambda) x_2+(4+\mu) x_3+4 x_4=1, \end{array}\right. $$ 已知 $[1,-1,1,-1]^{\mathrm{T}}$ 是该方程组的一个解．试求： （1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （2）该方程组满足 $x_2=x_3$ 的全部解．

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