设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3, \\ x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3, \\ x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3, \\ x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3 .\end{array}\right.$
（1）证明若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不等，则此方程组无解．
（2）设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ ，且已知 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 是该方程组的两个解，其中 $\boldsymbol{\beta}_1= [-1,1,1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=[1,1,-1]^{\mathrm{T}}$ ．试写出此方程组的通解．