【32584】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （复旦大学竞赛试题，2010 年）设 $n \geqslant 2$ 是自然数，$p \geqslant 3$ 是素数．证明：$x^n+x+p$是有理数域 $Q$ 上的不可约多项式．

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【32583】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三次方程 $x^3+a x^2+b x+c=0$ 在复数域上的 3 个根，求一个三次方程，使其 3 个根为 $\alpha_1^3, \alpha_2^3, \alpha_3^3$ ．

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【32582】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 证明：整系数多项式 $f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n$ 有整数根的充分必要条件为存在 $2(n-1)$ 个整数 $b_i, c_i$ 满足下列条件： （1）$a_i=b_i+c_i, 1 \leqslant i \leqslant n-1$ ； （2）$\frac{1}{c_1}=\frac{b_1}{c_2}=\frac{b_2}{c_3}=\cdots=\frac{b_{n-2}}{c_{n-1}}=\frac{b_{n-1}}{a_n}$ ．

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【32581】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （浙江大学，2005年）设整系数多项式 $f(x)$ 的次数是 $n=2 m$ 或 $n=2 m+1$（其中 $m$ 为正整数）．证明：如果有 $k(\geqslant 2 m+1)$ 个不同的整数 $a_1, a_2, \cdots, a_k$ 使 $f\left(a_i\right)$ 取值为 1或 -1 ，那么 $f(x)$ 在有理数域上不可约。

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【32580】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （华东师范大学，2000 年）设 $f(x)$ 是整系数多项式，且 $f(1)=f(2)=f(3)= p(p$ 为素数 $)$ ，试证明：不存在整数 $m$ ，使 $f(m)=2 p$ ．

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【32579】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 华中师范大学，2002 年）设 $p$ 是素数，$a$ 是整数，$f(x)=a x^p+p x+1$ ，且 $p^2 \mid(a+1)$ ，证明：$f(x)$ 没有有理根．

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【32578】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 证明：多项式 $f(x)=(p-1) x^{p-2}+(p-2) x^{p-3}+\cdots+2 x+1$ 在有理数域上不可约，其中 $p$ 为大于 2 的素数．

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【32577】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （北京航空航天大学，2004 年）设 $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$ 是一个整系数多项式．证明：如果存在一个素数 $p$ ，使得 （1）$p$ 不能整除 $a_n$ ； （2）$p \mid a_{n-1}, a_{n-2}, \cdots, a_0$ ； （3）$p^2$ 不能整除 $a_0 \cdot$ 那么多项式 $f(x)$ 在有理数域上是不可约的．

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【32576】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （四川大学，2001 年）设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 $n$ 个互不相同的整数．证明： $$ f(x)=\left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right) \cdots\left(x-a_n\right)+1 $$ 在有理数域上不可约或是某一有理系数多项式的平方．

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【32575】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （北京大学，2002 年）对于任意非负整数 $n$ ，令 $f_n(x)=x^{n+2}-(x+1)^{2 n+1}$ ．证明： $$ \left(x^2+x+1, f_n(x)\right)=1 $$

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