【32564】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （华南理工大学，2018 年）设 $f(x), g(x) \in P[x], d(x)=(f(x), g(x))$ ，且 $\operatorname{deg} \frac{f(x)}{d(x)} \geqslant 1, \operatorname{deg} \frac{g(x)}{d(x)} \geqslant 1$ ，则存在唯一的 $u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $u(x) f(x)+v(x) g(x)= d(x)$ ，其中 $\operatorname{deg} u(x)<\operatorname{deg} \frac{g(x)}{d(x)}, \operatorname{deg} v(x)<\operatorname{deg} \frac{f(x)}{d(x)}$ ．

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【32563】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （天津大学，1998 年）设 $f(x)=x^3+(1+k) x^2+2 x+2 l$ 与 $g(x)=x^3+k x^2+l$ 的最大公因式是一个二次多项式，求 $k, l$ 的值．

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【32562】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （复旦大学竞赛试题，2009 年；燕山大学，2013 年）设 $f(x)$ 是数域 $K$ 上的一个次数大于 0 的一元多项式。证明：$f(x)$ 是一个不可约多项式 $p(x)$ 的幂（即存在正整数 $m$ ，使得 $\left.f(x)=p^m(x)\right)$ 的充分必要条件是，对任意的多项式 $g(x)$ 和 $h(x)$ ，若 $f(x) \mid(g(x) h(x))$ ，则必有 $f(x) \mid g(x)$ 或 $f(x) \mid h^n(x)$ ，其中 $n$ 是某个正整数．

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【32561】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （上海交通大学，2003 年）假设 $f_0\left(x^5\right)+x f_1\left(x^{10}\right)+x^2 f_2\left(x^{15}\right)+x^3 f_3\left(x^{20}\right)$ 能被 $x^4+x^3+x^2+x+1$ 整除。证明：$f_i(x)(i=0,1,2,3)$ 能被 $x-1$ 整除。

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【32560】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （华东师范大学，1993 年）设 $m, n$ 是两个大于 1 的正整数，多项式 $$ \begin{aligned} & f(x)=x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+x+1 \\ & g(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1 \end{aligned} $$ 证明：$(f(x), g(x))=1$ 当且仅当 $(m, n)=1$ ．

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【32559】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （重庆大学，2013 年）证明：$\left(x^m-1, x^n-1\right)=x^d-1$ 当且仅当 $(m, n)=d$ ．

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【32558】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （中国科学院大学 ${ }^{(1)}, 2007$ 年；河南师范大学，2017 年）设 $m, n, p$ 都是非负整数，证明：$\left(x^2+x+1\right) \mid\left(x^{3 m}+x^{3 n+1}+x^{3 p+2}\right)$

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【32557】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 设多项式 $f(x)=(x+1)^{k+n}+2 x(x+1)^{k+n-1}+\cdots+(2 x)^k(x+1)^n$ ，其中 $k, n$ 都是正整数，证明：$x^{k+1} \mid\left[(x-1) f(x)+(x+1)^{k+n+1}\right]$ ．

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【32556】 【 外接球与内切求】 填空题 正四棱锥 $P-A B C D$ 的各条棱长均为 2 ，则该四棱锥的内切球的表面积为

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【32555】 【 外接球与内切求】 填空题 连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为 [img=/uploads/2025-10/322a9e.jpg][/img]

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