【32574】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （中国科学院大学，2012 年）证明：多项式 $f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}$ 没有重根．

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【32573】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 设 $1, \omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_{n-1}$ 是 $x^n-1$ 的所有不同的复数根．求证： $$ \left(1-\omega_1\right)\left(1-\omega_2\right) \cdots\left(1-\omega_{n-1}\right)=n . $$

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【32572】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （南京理工大学，2006 年）设 $f(x) \in F[x]$ ．已知 $a \in F$ 是三阶导数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的一个 $k$ 重根，其中 $k$ 为正整数．证明：$a$ 是 $g(x)=\frac{1}{2}(x-a)\left[f^{\prime}(x)+f^{\prime}(a)\right]-f(x)+f(a)$ 的一个 $k+3$ 重根．

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【32571】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （北京大学，2009 年）设多项式 $f(x)$ 的所有复根都是实数，且实数 $\boldsymbol{a}$是 $f^{\prime}(x)$ 的一个重根．证明 $a$ 也是 $f(x)$ 的根．

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【32570】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 求 $a$ 和 $b$ 的值，使得 $f(x)=x^3-5 x^2+7 x+a$ 和 $g(x)=x^3-8 x+b$ 有两个公共根．

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【32569】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 设多项式 $d(x), f(x), g(x), h(x) \in K[x]$ 满足 $\left(\frac{g(x)}{(f(x), g(x))}, h(x)\right)=d(x)$ ，且 $p(x)=(f(x), d(x))$ 的次数不小于 1 ，试证明 $g(x)$ 有重因式．

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【32568】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （浙江大学，2006 年）设 $P$ 是一个数域，$f_i=f_i(x) \in P[x], g_i=g_i(x) \in P[x], i=1,2$ ．求证：$\left(f_1, g_1\right)\left(f_2, g_2\right)=\left(f_1 f_2, f_1 g_2, g_1 f_2, g_1 g_2\right)$ ．

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【32567】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （中国科学院大学，2007 年）设多项式 $f(x), g(x), h(x)$ 只有非零常数公因子，证明：存在多项式 $u(x), v(x), w(x)$ ，使得 $u(x) f(x)+v(x) g(x)+w(x) h(x)=1$ ．

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【32566】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （华中师范大学，1994 年）设 $M$ 为 $F[x]$ 中一切形如 $u(x) f(x)+v(x) g(x)$ 的非零多项式所构成的集合，其中 $f(x), g(x)$ 是 $F[x]$ 中两个给定的非零多项式，$u(x), v(x)$是 $F[x]$ 中任意的多项式．证明：$M$ 非空，且 $M$ 中次数最低的多项式都是 $f(x), g(x)$ 的最大公因式．

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【32565】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （湖南省竞赛试题，2006 年）设 $$ f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_{10} x^{10}+a_{11} x^{11}+a_{12} x^{12}+a_{13} x^{13} \quad\left(a_{13} \neq 0\right) $$ 和 $$ g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+b_3 x^3+b_{11} x^{11}+b_{12} x^{12}+b_{13} x^{13} \quad\left(b_3 \neq 0\right) $$ 是两个复系数多项式．证明它们的最大公因式的次数最多为 6 ．

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