【32594】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛非数学A类试题与答案】 填空题 已知反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}$ ，则反常积分 $$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin \left(\frac{x}{3}\right)}{\frac{x}{3}} \mathrm{~d} x= $$

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【32593】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛非数学A类试题与答案】 填空题 设 $x_n=\frac{2^3-1}{2^3+1} \cdot \frac{3^3-1}{3^3+1} \cdots \cdot \frac{n^3-1}{n^3+1},(n=2,3, \cdots)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n=$

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【32592】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （北京大学，2007 年）把实数域 $\mathbb{R}$ 看成有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的线性空间，$b=p^3 q^2 r$ ，这里的 $p, q, r \in \mathbb{Q}$ 是互不相同的素数．判断向量组 $1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^2}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是否线性相关？说明理由．

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【32591】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （中国剩余定理）设 $p_1(x), p_2(x), \cdots, p_n(x) \in K[x]$ 是 $n$ 个两两互素的多项式，$g_1(x), g_2(x), \cdots, g_n(x) \in K[x]$ 是任意 $n$ 个多项式，则存在 $f(x) \in K[x]$ 使得 $$ \begin{cases}f(x) \equiv g_1(x) & \left(\bmod p_1(x)\right) \\ f(x) \equiv g_2(x) & \left(\bmod p_2(x)\right) \\ \cdots \cdots \cdots \cdots & \\ f(x) \equiv g_n(x) & \left(\bmod p_n(x)\right)\end{cases} $$

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【32590】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （北京大学，2007 年）设 $n$ 阶复方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足：对于任意正整数 $k$ ，都有 $\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{A}^k\right)=0$ ．求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值．

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【32589】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （华东师范大学，2009 年）设 $f(x)=\left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right)\left(x-a_3\right)\left(x-a_4\right)+1$ ，其中 $a_i$为整数 $(1 \leqslant i \leqslant 4)$ ，且 $a_1<a_2<a_3<a_4$ ．证明：$f(x)$ 在有理数域上可约当且仅当 $a_4-a_1=3$ ．

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【32588】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （四川大学，2011 年）设数域 $F, S$ 满足 $F \subset S, f(x)$ 为 $F$ 上的 $n$ 次多项式，$f(x)$ 在 $S$ 上有 $n$ 个根 $x_i(1 \leqslant i \leqslant n)$ ，则 $\prod_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(x_i-x_j\right)^2 \in F$ ．

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【32587】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 （西北大学，2014 年）求满足 $f\left(x^2\right)=f(x) f(x+1)$ 的非常数多项式 $f(x)$ ．

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【32586】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 计算多项式 $f(x)=x^9+x^7+x^3+x^2+x-1$ 的所有根的平方和、立方和及 9 次方的和．

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【32585】 【 樊启斌《高等代数经典习题选编》多项式1】 证明题 设多项式 $f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n\left(a_0 \neq 0\right)$ 的 $n$ 个根为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ．证明 $f(x)$ 有重根的充分必要条件是 $$ Q=\left|\begin{array}{cccc} s_0 & s_1 & \cdots & s_{n-1} \\ s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ s_{n-1} & s_n & \cdots & s_{2 n-2} \end{array}\right|=0 . $$ 其中 $s_k=\alpha_1^k+\alpha_2^k+\cdots+\alpha_n^k(k=0,1,2, \cdots, 2 n-2)$ ．

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