【39558】 【 王后雄2025年高考数学押题卷】 解答题 给定函数 $m(x), n(x)(x \in \mathbf{R})$ ，定义：$m(x) * n(x)=m(x) n(x)+[m(x)][n(x)]$（其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）．已知函数 $f(x)=[x] * \mathrm{e}^x$ ． （1）判断函数 $f(x)$ 在 $(-2,2 \ln 2)$ 上的单调性； （2）证明：当 $x \in(0,2)$ 时，函数 $f(x)$ 的图象在直线 $y=x-1$ 的上方； （3）若关于 $x$ 的方程 $f(x)=x^2+a x+2$ 在 $(1, \ln 3)$ 内有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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【39557】 【 王后雄2025年高考数学押题卷】 解答题 已知抛物线 $C_1: y=p x^2(p \neq 0)$ 与 $C_2: y=x^2+2 x+q$ 相交于 $A_1, B_1$ 两点，其交点的横坐标分别为 $a_1=3, b_1=-1$ ．在抛物线 $C_1$ 上另取 $(n-1)$ 个点 $A_2, A_3, \cdots, A_n$ ，在抛物线 $C_2$ 上另取 $(n-1)$ 个点 $B_2, B_3, \cdots, B_n$ ，使 $A_i A_{i+1} / / B_i B_{i+1}(i=1,2, \cdots, n-1)$ ．记 $A_i, B_i(i=2,3, \cdots, n)$ 的横坐标分别为 $a_i$ ， $b_i(i=2,3, \cdots, n)$ ． （1）求 $p, q$ 及 $2 a_2-b_2$ 的值． （2）证明： $2 a_n-b_n=\left\{\begin{array}{l}7, n=2 k-1, k \in \mathbf{N}^*, \\ -5, n=2 k, k \in \mathbf{N}^* .\end{array}\right.$ （3）是否存在点 $A_n, B_n$ ，使四边形 $A_1 B_1 A_n B_n$ 为平行四边形？若存在，求出 $A_n, B_n$ 的坐标及 $n$ 的取值集合；若不存在，请说明理由．

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【39556】 【 王后雄2025年高考数学押题卷】 解答题 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进人面试．笔试共有 2 道专业理论题与 2 道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为 $p(0<p<1)$ ，每道岗位实践题的难度系数均为 $q(0<q<1)$ ，考生至少答对 3 道题才能进人面试，否则被淘汰出局；面试共有 5 道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对 3 道题或答错 3 道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为 $\frac{1}{16}$ ，笔试和面试各题是否答对相互独立． （1）当 $p=\frac{2}{3}$ 时，求 $q$ ； （2）求甲能够进人面试的概率 $f(p)$ 的最小值及相应的 $p$ 值； （3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的 $p$ 值，令甲面试结束时的答题数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望．

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【39555】 【 王后雄2025年高考数学押题卷】 解答题 如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ，底面四边形 $A B C D$ 为直角梯形，$A B / / D C$ ， $\angle A B C=60^{\circ}, P A=A B=2 D C=2, M$ 是 $P B$ 的中点，$N$ 是 $P C$ 上的一点． （1）证明：平面 $A M D \perp$ 平面 $P B C$ ； （2）若异面直线 $N A$ 和 $P B$ 垂直，求二面角 $N-M A-C$ 的正弦值． [img=/uploads/2026-04/30ee19.jpg][/img]

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【39554】 【 王后雄2025年高考数学押题卷】 解答题 记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan B}=\frac{1}{\tan C}+\frac{\sin C}{2 \sin A \sin B}$ ． （1）求 $C$ 的最大值； （2）若 $C=\frac{\pi}{4}$ ，求 $\tan A$ ．

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【39553】 【 王后雄2025年高考数学押题卷】 填空题 已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{a x}+a \cos x-\frac{\pi}{2} a(a>0)$ ，若对任意的 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], f(x) \leqslant \mathrm{e}^\pi-\pi$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

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【39552】 【 王后雄2025年高考数学押题卷】 填空题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 是首项为 1 、公差为 1 的等差数列，若 $1+\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+ \frac{a_n}{b_n}=2^n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，则 $S_{10}=$

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【39551】 【 王后雄2025年高考数学押题卷】 填空题 某建筑工地的工人师傅要浇筑椭球形钢筋水泥柱，其模具横断面的椭圆方程为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$ ，椭圆及其内部的点 $(x, y)(x \in \mathbf{Z}, y \in \mathbf{Z})$ 称为＂整点＂，是嵌人钢筋的位置标记．浇筑水泥时，任意两个整点之间的钢筋需用铁丝绑扎固定，形成网状结构．现任抽两个整点检测是否扎紧，则抽到的两个整点之间的距离大于 $\sqrt{2}$ 的概率为

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【39550】 【 王后雄2025年高考数学押题卷】 多选题 已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}+\frac{a}{x}, a \in \mathbf{R}$ ，则下列说法正确的有

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【39549】 【 王后雄2025年高考数学押题卷】 多选题 如图所示的曲线 $C$ 称为双纽线，是到两定点 $F_1(-1,0), F_2(1,0)$ 的距离之积为定常数 $a(a>0)$的点的轨迹，其对称中心为坐标原点 $O$ ，则下列说法正确的有 [img=/uploads/2026-04/807841.jpg][/img]

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