【39538】 【 同济大学《隐函数导数、全微分、偏导数》训练】 解答题 证明： $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2}=0$ ．

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【39537】 【 同济大学《隐函数导数、全微分、偏导数》训练】 证明题 求下列各极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2|y|^{\frac{3}{2}}}{x^4+y^2}$

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【39536】 【 同济大学《隐函数导数、全微分、偏导数》训练】 解答题 若在某一包含点 $p(x, y)$ 在内的区域上 $f(x, y)$ 的偏导数 $f_x(x, y), f_y(x, y)$ 存在而且有界，则它在这个区域上连续．这个命题是否正确？

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【39535】 【 同济大学《隐函数导数、全微分、偏导数》训练】 证明题 $f(x, y, z)=x^2(y+z) z+\mathrm{e}^{-y^2 \arctan \frac{x^3+z^2}{x+z}}$ ，求偏导数 $f_{x z}(x, 0, z)$ ．

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【39534】 【 同济大学《隐函数导数、全微分、偏导数》训练】 证明题 设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}}, & \text { 当 }(x, y) \neq(0,0), \\ 0, & \text { 当 }(x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 证明 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续并求 $f_x(0,0)$ 与 $f_y(0,0)$.

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【39533】 【 同济大学《隐函数导数、全微分、偏导数》训练】 解答题 设 $f(x, y)=x+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{|x|}{y}}$ ，求 $f_x(0,1)$

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【39532】 【 同济大学《隐函数导数、全微分、偏导数》训练】 证明题 设有一圆柱体，它的底半径以 $0.1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率在增大，而高度以 $0.2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度在减少，试求当底半径为 100 cm ，高 120 cm 时， （1）圆柱体体积的变化率； （2）圆柱体表面积的变化率．

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【39531】 【 同济大学《隐函数导数、全微分、偏导数》训练】 证明题 设函数 $f(x) 、 g(x)$ 具有连续的二阶导数，证明：函数 $u=f(s+a t)+g(s-a t)$ 满足波动方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial s^2}$ ，其中 $a$ 是常数

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【39530】 【 同济大学《隐函数导数、全微分、偏导数》训练】 解答题 求函数 $z=f\left(\frac{x^2-y^2}{2}, x y\right)$ 的 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数．

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【39529】 【 同济大学《隐函数导数、全微分、偏导数》训练】 解答题 设函数 $u=x^2+y z$ ，而 $z=z(x, y)$ 是由方程 $z=f(x, y+z)$ 确定的可微函数，其中 $f$ 具有连续的偏导且 $f_2^{\prime} \neq 1$ ，求偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$

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