单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中最高阶的无穷小量是
$\text{A.}$ $\sqrt{1+x^4}-\mathrm{e}^{\frac{x^2}{2}}$ ．
$\text{B.}$ $\tan x-\sin x$ ．
$\text{C.}$ $3 x^3-4 x^4+5 x^5$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^{1-\cos x} \sin ^{\frac{3}{2}} t \mathrm{~d} t$
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 x^n-2 x^{-n}}{2 x^n+x^{-n}} \cos \frac{1}{x^2}$ ，则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 两个第一类间断点．
$\text{B.}$ 三个第一类间断点．
$\text{C.}$ 两个第一类间断点和一个第二类间断点。
$\text{D.}$ 一个第一类间断点和一个第二类间断点。
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $\sin (x y)+\ln y-x=1$ 确定，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left[f\left(\frac{1}{n^2}\right)-\mathrm{e}\right]=$
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}$ ．
$\text{B.}$ $e(1-e)$ ．
$\text{C.}$ e．
$\text{D.}$ 2 e ．
已知函数 $f(x)=\frac{\left(x^2+a^2\right)(x-1)}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+b}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1$ ．
$\text{B.}$ $a=0, b=1$ ．
$\text{C.}$ $a \neq 0, b=-\mathrm{e}$ ．
$\text{D.}$ $a=0, b=-\mathrm{e}$ ．
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $x \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上无界
$\text{B.}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 为无穷大量
$\text{C.}$ $\int_0^x \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ 在 $(0,2026]$ 上无界
$\text{D.}$ $\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上无界
已知函数 $f(x)=\frac{1}{x^2} \arctan \frac{1}{x-\frac{1}{x}}$ ，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点；$x=1$ 和 $x=-1$ 是第二类间断点．
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点；$x=1$ 和 $x=-1$ 是第一类间断点．
$\text{C.}$ $x=0, x=1$ 及 $x=-1$ 全都是 $f(x)$ 的第一类间断点．
$\text{D.}$ $x=0, x=1$ 及 $x=-1$ 全都是 $f(x)$ 的第二类间断点．
已知函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{|x|\left(x^2-3 x+2\right)}$ 的无穷间断点个数有 $k_1$ 个，可去间断点个数
有 $k_2$ 个，再设函数 $y=g(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=k_2+t^{k_2+2} \\ y=e^{t^2}\end{array}\right.$ 确定，则极限
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{k_2}\left[g\left(k_1+\frac{k_1}{x}\right)-g\left(k_1\right)\right]=
$$
$\text{A.}$ $\frac{\mathrm{e}}{3}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{2 \mathrm{e}}{3}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{4 \mathrm{e}}{3}$ ．
$\text{D.}$ $2 e $．
当 $x>0$ 时，$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{2 \sqrt{x+\theta(x)}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $a \neq 0$ ，则
$\text{A.}$ $\int_{-a}^a f\left(x^3\right) \mathrm{d} x=0$ ．
$\text{B.}$ $\int_{-a}^a x f^2(x) \mathrm{d} x=0$ ．
$\text{C.}$ $\int_{-a}^a x[f(x)+f(-x)] \mathrm{d} x=0$ ．
$\text{D.}$ $\int_{-a}^a x[f(x)-f(-x)] \mathrm{d} x=0$ ．
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 x^{n+2}}{\sqrt{1+x^{2 n}}}, F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t(x>-1)$ ，则下列说法中，正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 的定义域为 $(-1,+\infty), F(x)$ 可导。
$\text{B.}$ $f(x)$ 的定义域为 $(-1,+\infty), F(x)$ 有一个不可导点．
$\text{C.}$ $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,+\infty), F(x)$ 有一个不可导点．
$\text{D.}$ $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,+\infty), F(x)$ 有两个不可导点．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{x}\right)^{\frac{1}{e^x \ln (1+x)+a x+h x^2}}= e$ ，则 $a b=$
设 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x} -\frac{\ln (1+x)}{x \sin x}\right)=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}{n+1}+\frac{1+\ln \left(1+\frac{2}{n}\right)}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{1+\ln \left(1+\frac{n}{n}\right)}{n+\frac{1}{n}}\right)=$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+x^2\right)+\ln \left(1-x+x^2\right)}{\sec x-\cos x}=
$$
若 $a>0$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{n \cdot(\sqrt[n]{a}-1)}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}=a$, 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\int_0^1 g(x t) d t}{x}, x < 0, \\ 1, x=0, \\ \frac{a+b \cos x}{x^2}+c, x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 求常数 $a, b, c$ 的值。
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(a-6) \sin x+x^a \cos \frac{1}{x}, & x>0, \\ a \ln (1-a x), & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处可导．
（1）求参数 $a$ ；
（2）令 $\varphi(x)=f(x)\left( e ^x-1\right)$ ，求 $\varphi^{\prime}(0), \varphi^{\prime \prime}(0)$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \ln (2-\cos x)-3\left[\left(1+\sin ^2 x\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{x^2[\ln (1+x)+\ln (1-x)]}$ ．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $0 < x_1 < 1,2 x_{n+1} \cos x_n=x_n-x_n^2, n=1,2, \cdots$ 。证明：数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt[3]{1+2 \sin ^2 x}}{\tan ^2 x}$ ．
设
$$
f(x)= \begin{cases}\sin x+2 a \mathrm{e}^x, & x < 0, \\ 9 \arctan x+2 b(x-1)^3, & x \geqslant 0 .\end{cases}
$$
确定 $a, b$ 的值，使 $f^{\prime}(0)$ 存在．