单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $y=C_1 \mathrm{e}^x+C_2 \mathrm{e}^{-2 x}+x \mathrm{e}^x$ 满足的一个微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^x$ ．
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 \mathrm{e}^x$ ．
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^x$ ．
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 \mathrm{e}^x$ ．
设函数 $f(x, y)$ 连续，则 $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^2 f(x, y) \mathrm{d} y+\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_1^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
$\text{B.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
$\text{C.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_1^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^2 f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 可以写成
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{1-y^{\prime}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{x-x}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
解答题 （共 22 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$x y^{\prime}+y=x^2+3 x+2$ ；
设均匀平面薄板 $D$ 由 $x^2 \leqslant y \leqslant 1$ 的确定，求该薄板关于过 $D$ 的重心和点 $(1,1)$ 的直线的转动惯量．
设位于点 $(0,1)$ 的质点 $A$ 对质点 $M$ 的引力大小为 $\frac{k}{r^2}(k>0, r$ 为质点 $A$ 与 $M$ 之间的距离），质点 $M$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 自点 $B(2,0)$ 运动到点 $O(0,0)$ ，求在此运动过程中质点 $A$ 对质点 $M$ 的引力所作的功．
设曲面 $\Sigma: x^2+y^2=z(0 \leq z \leq h)$ 的法方向与 $z$ 轴正向的夹角为钝角，求流体速度场 $v =(x+y+z) k$ 在单位时间内流过该曲面 $\Sigma$ 的流量．
设曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+4 y+z^2=4 z \\ x^2-8 y+3 z^2=12 z\end{array}\right.$ ，求它在 $x O y$ 坐标面上的投影方程．
向量场 $\mathbf{A}=\left(x^2 y z, x y^2 z, x y z^2\right)$ 的散度 $\operatorname{div} \mathbf{A}$ 和旋度 $\operatorname{curl} \mathbf{A}$ ．
证明在 $\mathbb{R}^3$ 内存在函数 $u(x, y, z)$ ，使得
$$
\mathrm{d} u(x, y, z)=\left(y z \mathrm{e}^{x y z}+3 x^2\right) \mathrm{d} x+\left(x z \mathrm{e}^{x y z}+\sin y\right) \mathrm{d} y+\left(x y \mathrm{e}^{x y z}+2 z\right) \mathrm{d} z
$$
并求函数 $u(x, y, z)$ ．
计算曲线积分 $I=\oint_L(y+1) \mathrm{d} x+(z+2) \mathrm{d} y+(x+3) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 为球面 $x^2+y^2+ z^2=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向往负向看，$L$ 是逆时针方向．
有一束平行于直线 $L: x=y=-z$ 的平行光束照射不透明球面
$$
S: x^2+y^2+z^2=2 z
$$
求球面在 $x O y$ 平面上留下的阴影部分的边界曲线方程．
计算曲线积分 $\oint_L \frac{x y \mathrm{~d} x+\left(y^2+x\right) \mathrm{d} y}{x^2+y^2+1}$ ，其中 $L$ 为圆 $x^2+y^2=1$ ，方向顺时针．
计算重积分 $\iiint_{\Omega}\left(2 x^2+z^2\right) \mathrm{d} V$ ，其中区域 $\Omega$ 在球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 内，及圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 下，即 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid z \leqslant \sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2+z^2 \leqslant 1\right\}$ ．
设 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-2)^2 \leqslant 2\right\}$ ，计算二重积分 $\iint_D 2 x+3 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
设有界区域 $\Omega$ 由平面 $2 x+y+2 z=2$ 与三个坐标平面围成，$\Sigma$ 为 $\Omega$ 整个表面的外侧，计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma}\left(x^2+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-2 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+3 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
已知 $\Sigma$ 是曲面 $4 x^2+y^2+z^2=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0)$ 的上侧，$L$ 是 $\Sigma$ 的边界曲线，其正向与 $\Sigma$ 的正法向量满足右手法则，计算曲线积分 $I=\oint_L\left(y z^2-\cos z\right) \mathrm{d} x+2 x z^2 \mathrm{~d} y+(2 x y z+x \sin z) \mathrm{d} z$ ．
形状为椭球 $4 x^2+y^2+4 z^2 \leq 16$ 的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热， 1 ，后在探测器的点 $(x, y, z)$ 处的温度 $T=8 x^2+4 y z-16 z+600$ ，求探测器表面最热的点
设在 $x O y$ 平面上各点的温度 $T$ 与点的位置间的关系为 $T=4 x^2+9 y^2$ ，试求 ：
（1）在点 $P(9,4)$ 处沿方向角为 $\alpha=\frac{5 \pi}{6}, \beta=\frac{2 \pi}{3}$ 的方向 $\vec{l}$ 的温度变化率；
（2）在点 $P$ 处沿什么方向温度变化率取得最大值，并求此最大值．
假设函数 $y=y(x), z=z(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{l}z=x^2+y^2 \\ x^2+2 y^2+3 z^2=20\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d z}{d x}$.
求密度为 $\rho=z$ 的半椭球体 $\Omega: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2} \leq 1 ; z \geq 0$ 的质心坐标；
$\Omega$ 是体密度为 $\rho(x, y, z)$ 的空间立体，其质量为 $M, l$ 与 $l_0$ 是相距 $d$ 的两条平行直线，其中 $l_0$ 经过 $\Omega$ 的质心．
（1）证明转动惯量 $I_l=I_{l_0}+d^2 M$ ；
（2）$\Omega$ 是由 $x^2+y^2=z^2$ 以及 $z=1$ 所围的立体，体密度为 $\rho=1, l$ 是过点 $(1,1,0)$ 平行于 $z$轴的直线，求转动惯量 $I_l$ ．
$\iint_D \frac{y-x}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, D: x^2+y^2 \leq 1, y-x \geq 1$ ．
求积分 $\oint_{\Sigma}\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} S, \Sigma$ 是圆柱面 $x^2+y^2=4 ; 0 \leq z \leq 4$ ．
设向量场 $\vec{A}=x^2 \vec{i}+y^2 \vec{j}+z^2 \vec{k}$ ，穿过球面 $\Sigma: x^2+y^2+z^2=a^2$ 位于第一卦限的那部分，流向凸的一侧，求流量．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设有一圆柱体，它的底半径以 $0.1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率在增大，而高度以 $0.2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度在减少，试求当底半径为 100 cm ，高 120 cm 时，
（1）圆柱体体积的变化率；
（2）圆柱体表面积的变化率．