解答题 （共 27 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(a^2 \sin ^2 x+b^2 \cos ^2 x\right) \mathrm{d} x$, 其中 $a b \neq 0$.
求定积分 $I=\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{1+x^2} d x$ ．
$I=\int e^x \cos ^2 x d x$
$ I=\int e^{\sqrt{x}} d x $
$I=\int \frac{x^4+1}{x^5+x^4-x^3-x^2} d x$.
$I=\int \frac{x^2+1}{(x-1)^{5 / 2} \sqrt{x^3+1}} d x$.
$I=\int \frac{\sqrt{2+x-x^2}}{x} d x$.
$I=\int \frac{x^2}{\left(1-x^2\right)^{3 / 2}} d x$.
$I=\int \frac{1+x^2}{1-x^2} \frac{d x}{\sqrt{1+x+x^2}}$.
$I=\int \frac{\sqrt{1+x^4}}{1-x^4} d x$.
$I=\int \frac{ d x}{\sqrt[4]{1+x^4}}$.
$I=\int \frac{\sin x}{1+\sin x} d x$.
$I=\int \frac{ d x}{5+3 \sin x+4 \cos x}$.
$I=\int \frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)} d x$.
计算下列定积分：
（1） $\int_0^{\ln 2} \sqrt{\mathrm{e}^x-1} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\int_0^2(2 x+1) \sqrt{2 x-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
计算
(1) $\int_0^{\pi / 4} \tan ^{14} x \mathrm{~d} x$.
(2) $\int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x} \mathrm{~d} x$.
求不定积分 $\int e^{a x} \sin b x \mathrm{~d} x$（其中 $a, b$ 为常数）
求不定积分 $\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$
求不定积分
1． $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^3 x \cos ^5 x}$
2． $\int \arcsin { }^2 x \mathrm{~d} x$
设 $f(x)=\int_0^x \sin (x-t) e^{-t} \mathrm{~d} t$ ，求 $f^{\prime}(x)$ ．
$\int e^x \cos ^2 x \mathrm{~d} x$
$\int \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) d x$
计算$ \int x^5\left(2-5 x^3\right)^{\frac{2}{3}} d x$
计算$ \int \frac{\cos ^5 x}{\sin ^4 x} d x$
计算 $ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(x^2+\tan ^{2011} x\right) d x$
设 $ F(x)=\int_{\cos x}^{\sin x} \ln (t+1) d t$，求 $ F^{\prime}(x) $
求 曲线 $y=\int_0^x \sqrt{\sin t} d t, x \in(0, \pi) $ 的弧长
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算$I=\int_{-1}^2 \frac{1+x^2}{1+x^4} d x$