填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=\ln \left(x+\frac{1}{x}\right)$ ，求 $y^{\prime}$
设 $f(x)=\frac{e^x \arctan x}{x}$ ，求 $f^{\prime}(x)$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算导数 $ f(x)=\sqrt{x^2+1}-\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \text {, 求 } f^{\prime}(x) $
计算 求由方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^3 t \\ y=a \sin ^3 t\end{array}\right.$ 表示的函数的二阶导数 ;
求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 过其上点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程。
求由下列函数方程确定的隐函数 $y(x)$ 的导数 $y^{\prime}(x)$ ：
（1）$y^2+2 \ln y=x^4$ ．
（2）$x^y=y^x(x>0, y>0)$ 。
（3）$x^2-4 x y+4 y^2+4 x-3 y-7=0(x < 2 y-1)$ ．
试求下列极限 $I$ ：
（1）$I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x^n-\sin ^n x}{x^{n+2}}$ ．
（2）$I=\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{1-\cos (1-\sin x)}{\sin ^4(\cos x)}$ ．
设函数 $y=f(x)$ 与函数 $x=\varphi(y)$ 互为反函数，且已知 $f(2)=3, f^{\prime}(2)=\frac{1}{4}$ ，并设 $g(x)=f^2[4 x-\varphi(2 x+1)]$ ，求 $g^{\prime}(1)$
求下列函数中 $y$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$
1．$y=\frac{x^4}{1-x} \sqrt{\frac{(x+1)(x+2)}{1+x+x^2}}$
2．$y=\sqrt{x^x+\frac{\ln x}{x}}$