证明在 $\mathbb{R}^3$ 内存在函数 $u(x, y, z)$ ，使得

$$
\mathrm{d} u(x, y, z)=\left(y z \mathrm{e}^{x y z}+3 x^2\right) \mathrm{d} x+\left(x z \mathrm{e}^{x y z}+\sin y\right) \mathrm{d} y+\left(x y \mathrm{e}^{x y z}+2 z\right) \mathrm{d} z
$$

并求函数 $u(x, y, z)$ ．