解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $I=\int_{\Gamma}\left(x^2-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^2-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^2-x y\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是螺线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=\frac{h}{2 \pi} t$ 从 $A(a, 0,0)$ 到 $B(a, 0, h)$ 的一段．
计算曲线积分 $I=\oint_{\Gamma}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为柱面 $x^2+y^2=a^2$ 与 $\frac{x}{a}+\frac{z}{h}=1(a>0, h>0)$ 的交线，从 $O x$ 的正向看去交线为逆时针方向．
设曲线 $\Gamma$ 是平面 $x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma-5=0$ 上的闭曲线，它所围的平面区域 $\Sigma$ 的面积为 $A$ ，平面的取向与 $\Gamma$ 的取向符合右手法则，其中 $(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为与平面同向的单位向量，计算曲线积分
$$
I=\oint_{\Gamma}\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{d} x & \mathrm{~d} y & \mathrm{~d} z \\
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
x & y & z
\end{array}\right| .
$$
向量场 $\mathbf{A}=\left(x^2 y z, x y^2 z, x y z^2\right)$ 的散度 $\operatorname{div} \mathbf{A}$ 和旋度 $\operatorname{curl} \mathbf{A}$ ．
证明在 $\mathbb{R}^3$ 内存在函数 $u(x, y, z)$ ，使得
$$
\mathrm{d} u(x, y, z)=\left(y z \mathrm{e}^{x y z}+3 x^2\right) \mathrm{d} x+\left(x z \mathrm{e}^{x y z}+\sin y\right) \mathrm{d} y+\left(x y \mathrm{e}^{x y z}+2 z\right) \mathrm{d} z
$$
并求函数 $u(x, y, z)$ ．
计算曲线积分 $I=\oint_L(y+1) \mathrm{d} x+(z+2) \mathrm{d} y+(x+3) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 为球面 $x^2+y^2+ z^2=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向往负向看，$L$ 是逆时针方向．