试题

设曲线 $\Gamma$ 是平面 $x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma-5=0$ 上的闭曲线，它所围的平面区域 $\Sigma$ 的面积为 $A$ ，平面的取向与 $\Gamma$ 的取向符合右手法则，其中 $(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为与平面同向的单位向量，计算曲线积分

$$
I=\oint_{\Gamma}\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{d} x & \mathrm{~d} y & \mathrm{~d} z \\
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
x & y & z
\end{array}\right| .
$$

答案