数 学

设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是齐次线性方程组 $A x=0$ 的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为 该方程组基础解系的是

设 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 的三个解，则 是齐次线性方程组 $A x=0$ 的解．

已知 $b$ 为一常数，设集合

$$
V=\left\{\boldsymbol{\alpha} \left\lvert\, \boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
a_1+a_2+b
\end{array}\right]\right., a_1, a_2, b \in \mathbb{R}\right\},
$$


若 $V$ 是向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的子空间，则 $b=$

$n$ 元齐次线性方程组 $A x=0$ 存在非零解的充要条件是

在 $R ^3$ 中，子集 $W=\left\{\left(a_1, a_2, a_3\right)^{ T } \mid a_1 \geqslant 0\right\}$ 能否成为 $R ^3$ 的一个子空间？

定义在实数域上的全体 $n$ 阶方阵所构成的线性空间 $M_n( R )$中，由全体 $n$ 阶上三角矩阵所构成子集 $W$ ，能否成为 $M_n( R )$ 的一个子空间？

设 $R^3$ 中，由第一组基 $\alpha_1=(7,-2,-5)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(-19,5,14)^T, \alpha_3=(-6,3,3)^T$到第二组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ．
（1）求第二组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$
（2）若向量 $\eta$ 在第二组基下的坐标是 $(-1,-1,1)$ ，求 $\eta$ 在第一组基下的坐标．

已知四维实向量空间 $z^4$ 中的向量组

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_4=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right] ; \\
\boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
a \\
1
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
2-a \\
1
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_3=\left[\begin{array}{r}
-1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_4=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right] .
\end{gathered}
$$


试求：（1）常数 $a$ 的值，使 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_1$ 为 $\mathbb{R}^4$ 的基；
（2）由 $\mathbb{R}^i$ 的基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．

设有 3 三维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1+\lambda\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}0 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right)$ ，问 $\lambda$ 取何值时：
（I） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，且表达式唯一？
（II） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，且表达式不唯一？
（III） $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示？

已知 $\mathbf{R}^3$ 的两个基为 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 3\end{array}\right)$ ．求由基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．

已知齐次线性方程组
（I）$\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2+3 x_3=0, \\ 2 x_1+3 x_2+5 x_3=0, \\ x_1+x_2+a x_3=0,\end{array}\right.$ 和（II）$\left\{\begin{array}{l}x_1+b x_2+c x_3=0, \\ 2 x_1+b^2 x_2+(c+1) x_3=0,\end{array}\right.$
同解，求 $a, b, c$ 的值．

设向量组 $A: \alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ -3 \\ 4\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}2 \\ -4 \\ -6 \\ 8\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 4 \\ -1 \\ 2\end{array}\right), \alpha_5=\left(\begin{array}{c}3 \\ -9 \\ -3 \\ 3\end{array}\right)$ ．
（1）求向量组 A 的秩；（2）求 A 的一个最大无关组；（3）把其余向量用最大无关组表出．