单选题 （共 29 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\frac{1}{1-x^2}$, 则 $f(x)$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $\arcsin x$
$\text{B.}$ $\arctan x$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1-x}{1+x}\right|$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|$.
设 $I=\int \arctan x \mathrm{~d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $x \arctan x-\ln \sqrt{x^2+1}+C$
$\text{B.}$ $x \arctan x-\ln \left|x^2+1\right|+C$
$\text{C.}$ $x \arctan x+\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{1+x^2}+C$.
设 $I=\int \frac{a+x}{\sqrt{a^2-x^2}} \mathrm{~d} x$, 则 $I=(\quad)$.
$\text{A.}$ $a \arcsin \frac{x}{a}+\sqrt{a^2-x^2}+C$.
$\text{B.}$ $a \arcsin \frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+C$.
$\text{C.}$ $a \arcsin \frac{x}{a}-x \sqrt{a^2-x^2}+C$.
$\text{D.}$ $\arcsin \frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+C$.
设 $I=\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $-(\arctan \sqrt{x})^2+C$.
$\text{B.}$ $\arctan \sqrt{x}+C$
$\text{C.}$ $(\arctan \sqrt{x})^2+C$.
$\text{D.}$ $-\sqrt{\arctan x}+C$.
设 $I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}+C$.
$\text{B.}$ $\arctan \mathrm{e}^x+C$.
$\text{C.}$ $\arctan \mathrm{e}^{-x}+C$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}+C$.
设 $I=\int(2 x-3)^{10} \mathrm{~d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $10(2 x-3)^9+C$.
$\text{B.}$ $20(2 x-3)^9+C$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{22}(2 x-3)^{11}+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{11}(2 x-3)^{11}+C$.
设 $\int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C$, 则 $\int \frac{1}{x^2} f\left(\frac{2}{x}\right) \mathrm{d} x=$.
$\text{A.}$ $F\left(\frac{2}{x}\right)+C$.
$\text{B.}$ $-F\left(\frac{2}{x}\right)+C$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2} F\left(\frac{2}{x}\right)+C$
$\text{D.}$ $2 F\left(\frac{2}{x}\right)+C$.
设 $I=\int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sqrt{x}}$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $-2 \sqrt{x}+2 \ln (1+\sqrt{x})+C$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{x}+2 \ln (1+\sqrt{x})+C$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{x}-2 \ln (1+\sqrt{x})+C$
$\text{D.}$ $-2 \sqrt{x}-2 \ln (1+\sqrt{x})+C$.
设 $I=\int a^{b x} \mathrm{~d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{b} \cdot \frac{a^{b x}}{\ln a}+C$
$\text{B.}$ $\frac{1}{b} \cdot \ln a \cdot a^{b x}+C$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{\ln a} a^{b x}+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{b} \cdot a^{b x}+C$.
设 $I=\int \frac{x \mathrm{~d} x}{a+b x^2}$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} \ln \left|a+b x^2\right|+C$.
$\text{B.}$ $\frac{b}{2} \ln \left|a+b x^2\right|+C$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{b} \ln \left|a+b x^2\right|+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2 b} \ln \left|a+b x^2\right|+C$.
由 $[a, b]$ 上连续曲线 $y=f(x)$, 直线 $x=a, x=b(a < b)$ 和 $x$ 轴围成图形的面积 $S=$.
$\text{A.}$ $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\left|\int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right|$
$\text{C.}$ $\int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x$.
$\text{D.}$ $\frac{[f(b)+f(a)](b-a)}{2}$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_n^{n+a} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x= $.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 0
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^2}=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{\pi}{2}$.
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ $-\pi$.
设奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数, 则
$\text{A.}$ $\int_0^x\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] d t$ 是奇函数.
$\text{B.}$ $\int_0^x\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] d t$ 是偶函数.
$\text{C.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] d t$ 是奇函数.
$\text{D.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] d t$ 是偶函数.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(1+\frac{2}{n}\right)^2 \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^2}$ 等于
$\text{A.}$ $\int_1^2 \ln ^2 x d x$.
$\text{B.}$ $2 \int_1^2 \ln x d x$.
$\text{C.}$ $2 \int_1^2 \ln (1+x) d x$.
$\text{D.}$ $\int_1^2 \ln ^2(1+x) d x$.
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} d x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{ e ^x} d x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) d x$, 则
$\text{A.}$ $M>N>K$.
$\text{B.}$ $M>K>N$.
$\text{C.}$ $K>M>N$.
$\text{D.}$ $K>N>M$.
设 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) d x, J=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) d x, K=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) d x$, 则 $I, J, K$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $I < J < K$.
$\text{B.}$ $I < K < J$.
$\text{C.}$ $J < I < K$.
$\text{D.}$ $K < J < I$.
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$, 令 $S_1=\int_a^b f(x) d x, S_2=$ $f(b)(b-a), S_3=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)$, 则
$\text{A.}$ $S_1 < S_2 < S_3$.
$\text{B.}$ $S_2 < S_1 < S_3$.
$\text{C.}$ $S_3 < S_1 < S_2$.
$\text{D.}$ $S_2 < S_3 < S_1$.
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} e ^{\sin t} \sin t d t$, 则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数.
$\text{B.}$ 为负常数.
$\text{C.}$ 恒为零.
$\text{D.}$ 不为常数.
$\int_0^1 \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} d x=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{\pi^2}{8}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{8}$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & 0 \leqslant x < \pi, \\ 2, & \pi \leqslant x \leqslant 2 \pi\end{array} F(x)=\int_0^x f(t) d t\right.$, 则
$\text{A.}$ $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的跳跃间断点.
$\text{B.}$ $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的可去间断点.
$\text{C.}$ $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处连续但不可导。
$\text{D.}$ $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处可导.
设函数 $f(x)$ 连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是
$\text{A.}$ $\int_0^x f\left(t^2\right) d t$.
$\text{B.}$ $\int_0^x f^2(t) d t$.
$\text{C.}$ $\int_0^x t[f(t)-f(-t)] d t$.
$\text{D.}$ $\int_0^x t[f(t)+f(-t)] d t$.
设 $f(x)=\int_0^{\sin x} \sin \left(t^2\right) d t, g(x)=x^3+x^4$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小.
$\text{B.}$ 同阶但非等价无穷小.
$\text{C.}$ 高阶无穷小.
$\text{D.}$ 低阶无穷小.
若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^a(1+x)^b} d x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $a < 1$ 且 $b>1$.
$\text{B.}$ $a>1$ 且 $b>1$.
$\text{C.}$ $a < 1$ 且 $a+b>1$.
$\text{D.}$ $a>1$ 且 $a+b>1$.
下列广义积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin x} d x$.
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d x$.
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} e ^{-x^2} d x$.
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^2 x} d x$.
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\ln x}{x} d x$.
$\text{B.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{ d x}{x \ln x}$.
$\text{C.}$ $\int_{ e }^{+\infty} \frac{ d x}{x(\ln x)^2}$.
$\text{D.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{ d x}{x \sqrt{\ln x}}$.
双纽线 $\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2$ 所围成的区域面积可用定积分表示为
$\text{A.}$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$.
$\text{B.}$ $4 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$.
$\text{C.}$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\cos 2 \theta} d \theta$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos 2 \theta)^2 d \theta$.
曲线 $y=\cos x\left(-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 与 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$.
$\text{B.}$ $\pi$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{2}$.
$\text{D.}$ $\pi^2$.
设 $y_1, y_2$ 是二阶线性方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0$ 的两个解，那么 $y=C_1 y_1+ C_2 y_2\left(C_1, C_2\right.$ ，是任意常数）是该方程通解的充分必要条件是
$\text{A.}$ $y_1^{\prime} y_2+y_1 y_2^{\prime}=0$ ；
$\text{B.}$ $y_1^{\prime} y_2+y_1 y_2^{\prime} \neq 0$ ；
$\text{C.}$ $y_1^{\prime} y_2-y_1 y_2^{\prime}=0$ ；
$\text{D.}$ $y_1^{\prime} y_2-y_1 y_2^{\prime} \neq 0$ ．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若方程 $y^{\prime}+y \tan x=-2 \cos 2 x$ 有一个特解 $y=f(x)$ ，且 $f(0)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $\frac{2 x}{y} \mathrm{~d} x-\frac{1}{\ln x} \mathrm{~d} y=0(x>0)$ 满足 $y(1)=1$ 的解．