单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^a(1+x)^b} d x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $a < 1$ 且 $b>1$.
$\text{B.}$ $a>1$ 且 $b>1$.
$\text{C.}$ $a < 1$ 且 $a+b>1$.
$\text{D.}$ $a>1$ 且 $a+b>1$.
下列广义积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin x} d x$.
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d x$.
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} e ^{-x^2} d x$.
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^2 x} d x$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{\cos x}^1 e^{-t^2} d t}{x^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{e}$
$\text{B.}$ $\infty$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2 e}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2 e}$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x t \ln (1+t \sin t) d t}{1-\cos x^2}=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
已知函数 $f(x)=\int_0^{\sin x} \sin t^2 \mathrm{~d} t, g(x)=x^3$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小；
$\text{B.}$ 同阶但非等价无穷小；
$\text{C.}$ 高阶无穷小；
$\text{D.}$ 低阶无穷小。
$\int_0^1 \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi^2}{4}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{\pi^2}{8}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{8}$
设 $y=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}+\left(x-\frac{1}{3}\right) \mathrm{e}^x$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c \mathrm{e}^x$的一个特解，则
$\text{A.}$ $a=-3, b=2, c=-1$ ．
$\text{B.}$ $a=3, b=2, c=-1$ ．
$\text{C.}$ $a=-3, b=2, c=1$ ．
$\text{D.}$ $a=3, b=2, c=1$ ．
（数 1，2）具有特解 $y_1=\mathrm{e}^{-x}, y_2=2 x \mathrm{e}^{-x}, y_3=3 \mathrm{e}^x$ 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ ．
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$ ．
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$ ．
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 是连续函数，且 $F(x)=\int_{\arccos x}^{\ln x} f(t) d t$ ，则 $F^{\prime}(x)=$
定积分 $\int_{-1}^1 \frac{1-x^4 \arcsin x}{\sqrt{4-x^2}} d x=$
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 连续, $g(x)=\int_0^1 f(x t) d t, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A, A$ 为常数. 求 $g^{\prime}(x)$ 并讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.
设函数 $f(x)$ 连续，且对任意实数 $x, h$ 满足 $f(x+h)=\int_x^{x+h} t\left[f(t+h)+t^2\right] d t+f(x)$ $\lim _{x \rightarrow 0}[1+f(x)]^{\frac{1-}{x^4}}=a(a>0)$ ，求 $f(x)$ 的表达式及常数 $a$
设 $I=\int_0^2 \frac{x}{e^x+e^{2-x}} d x$ ．
（I）证明 $I=\int_0^2 \frac{1}{e^t+e^{2-t}} d t$ ；
（II）求积分 $I$ 的值．
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内连续，$f(1)=3$ ，又 $\forall x, y \in(0,+\infty)$ ，恒有
$$
\int_1^{x y} f(t) d t=y \int_1^x f(t) d t+x \int_1^y f(t) d t,
$$
求 $f(x)$ ．
计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\int_0^x\left[t-t^2\left( e ^{\frac{1}{t}}-1\right)\right] d t}{x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$ ．
设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续，对于任意正数 $a, b$ ，积分 $\int_a^{a b} f(x) d x$ 与 $a$无关，且 $f(1)=1$ ，求 $f(x)$ ．
已知函数 $f(x)$ 为连续函数，且
$$
\int_0^{2 x} x f(t) d t+2 \int_x^0 t f(2 t) d t=2 x^3(x-1)
$$
求函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值与最小值．
设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续非负函数，且
$$
f(x) \cdot \int_0^x f(x-t) d t=\sin ^4 x,
$$
求 $f(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的平均值
$\int_0^3 \frac{\ln (1+x)}{\sqrt{1+x}} d x$
求微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=-2 x e^x$ 的通解．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，1、证明 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b f(a+b-x) \mathrm{d} x$ ；
2、求 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^2 x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ ．
已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}+\int_x^{x^2} \frac{1}{\sqrt{1+t}} \mathrm{~d} t$ ，求 $f^{\prime}(0)$ 及 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{2}{n}\right)-1\right]$ ．
求方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=\mathrm{e}^{2 x}$ 的通解．
计算积分（1） $\int \arcsin x d x$ ；
（2） $\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\left(\cos k x \sin k x+\sqrt{2-x^2}\right) d x$ ．
计算定积分 $\int_0^5 \frac{x+1}{\sqrt{3 x+1}} \mathrm{~d} x$
$\int_0^{2 \pi} x|\sin x| d x$
$\int_0^2 x^2 \arctan (x-1) \mathrm{d} x$
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上连续，$(a, b)$ 内可导的单调递减的函数，证明 $F(x)=\int_a^x \frac{f(t)}{x-a} d t$ 也是 $(a, b)$ 内单调递减的函数
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0, \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=1$ ，试证：
（1）存在 $\xi \in[0,1]$ ，使得 $|f(\xi)| \geq 4$ ；
（2）若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，则存在 $\eta \in(0,1)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\eta)\right| \geq 4$ ．
证明 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\cos x+\sin x} d x=\frac{\pi}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin x+\cos x} d x$ ．