单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
利用泰勒公式，当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x$ 的等价无穷小为（ ）。
$\text{A.}$ $5 x^2$
$\text{B.}$ $7 x^2$
$\text{C.}$ $-5 x^2$
$\text{D.}$ $-7 x^2$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=x-\ln (1+x)-\frac{1}{2} x \sin x, g(x)=a x^3$ ，且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$ ，则 $a=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right] .$
利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^3 x}$ ．
例题答案
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3 x^2}-\sqrt[4]{x^4-2 x^3}\right)$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-e^{x^2}\right) \sin x^2}$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}-\cos x}{x^4}$ ．
已知点 $(1,-1)$ 是曲线 $y=x^3+a x^2+b x+c$ 的拐点，且该曲线在 $x=0$ 处有极值为 1 ．试确定 $a, b, c$ 的值．
求 $f(x)=\sqrt{1+x} \sin x$ 在 $x=0$ 点的带皮亚诺余项的 3 阶泰勒展式，并求 $f^{(3)}(0)$ 的值．
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二阶可导，$f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，又 $a < b$且 $f(a)=0$ ，若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(b, f(b))$ 处的切线与 $x$ 轴相交于 $\left(x_0, 0\right)$ 点，证明 $a < x_0 < b$.
求函数 $f(x)=\frac{4(x+1)}{x^2}-2$ 的单调区间、极值点、凹凸区间和拐点．
求函数 $f(x)=x e^{-x}$ 的单调区间、凹凸区间 、极值及拐点。
设函数 $f(x)=2 x^3-3 x^2-36 x+25$
（1）求函数的单调区间及极值；
（2）求函数的凹凸区间及拐点；