单选题 （共 33 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\frac{(x+a y) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y}{(x+y)^{2}}$ 为某函数的全微分, 则 $a$ 等于 ( )
$\text{A.}$ $-1$.
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如图所示, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 3 个拐点
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 1 个拐点
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-1, x < 0, \\ 1, x \geq 0,\end{array} \quad g(x)=\left\{\begin{array}{l}2-a x, x \leq-1, \\ x,-1 < x < 0, \\ x-b, x \geq 0 .\end{array}\right.\right.$
若 $f(x)+g(x)$ 在 $R$ 上连续，则
$\text{A.}$ $a=3, b=1$
$\text{B.}$ $a=3, b=2$
$\text{C.}$ $a=-3, b=1$
$\text{D.}$ $a=-3, b=2$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x$,
$$
N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^x} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x ，
$$
则 $M, N, K$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $M>N>K$
$\text{B.}$ $M>K>N$
$\text{C.}$ $K>M>N$
$\text{D.}$ $K>N>M$
设函数 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3 \pi}{2}\right)$ 的拐点坐标为
$\text{A.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
$\text{B.}$ $(\pi,-2)$
$\text{C.}$ $(0,2)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{3 \pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$
$\int_0^1 \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\pi^2}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi^2}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{8}$
关于函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y, x y \neq 0 \\ x, y=0 \\ y, x=0\end{array}\right.$ 给出下列结论
(1) $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}=1$
(2) $\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(0,0)}=1$
(3) $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0$
(4) $\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)=0$
其中正确的个数为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-2,2]$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)>f(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $\frac{f(-2)}{f(-1)}>1$
$\text{B.}$ $\frac{f(0)}{f(-1)}>e$
$\text{C.}$ $\frac{f(1)}{f(-1)} < e^2$
$\text{D.}$ $\frac{f(2)}{f(-1)} < e^3$
设 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-a}{x-a}=b$, 则 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin f(x)-\sin a}{x-a}=$
$\text{A.}$ $b \sin a$
$\text{B.}$ $b \cos a$
$\text{C.}$ $b \sin f(a)$
$\text{D.}$ $b \cos f(a)$
函数 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(e^x-1\right)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$, $-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，当底面半径为 10 cm ，高为 5 cm 时，圆柱体的体积和表面积随时间变化的速率分别为
$\text{A.}$ $125 \pi \mathrm{cm}^3 / \mathrm{s}, 40 \pi \mathrm{cm}^2 / \mathrm{s}$
$\text{B.}$ $125 \pi \mathrm{cm}^3 / \mathrm{s},-40 \pi \mathrm{cm}^2 / \mathrm{s}$
$\text{C.}$ $-100 \pi \mathrm{cm}^3 / \mathrm{s}, 40 \pi \mathrm{cm}^2 / \mathrm{s}$
$\text{D.}$ $-100 \pi \mathrm{cm}^3 / \mathrm{s},-40 \pi \mathrm{cm}^2 / \mathrm{s}$
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处 ( )
$\text{A.}$ 连续且取极大值
$\text{B.}$ 连续且取极小值
$\text{C.}$ 可导且导数等于 0
$\text{D.}$ 可导且导数不为 0
设函数 $f(x)=a x-b \ln x(a>0)$ 有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $(e,+\infty)$
$\text{B.}$ $(0, e)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{e}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$
设函数 $f(x, y)$ 可微， 且
$$
f\left(x+1, \mathrm{e}^x\right)=x(x+1)^2, f\left(x, x^2\right)=2 x^2 \ln x
$$
则 $\mathrm{d} f(1,1)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\mathrm{d} x-\mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\mathrm{d} y$
$\text{D.}$ $-\mathrm{d} y$
已知 $z=x y f\left(\frac{y}{x}\right)$ ，且 $f(u)$ 可导，若 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=y^2(\ln y-\ln x)$ ，则（）
$\text{A.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$
设函数 $f(t)$ 连续，令$F(x, y)=\int_0^{x-y}(x-y-t) f(t) \mathrm{d} t$ 则
$\text{A.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x}=-\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial y}, \frac{\partial^2 \boldsymbol{F}}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \boldsymbol{F}}{\partial y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
设函数 $f(t)$ 连续，
$$
F(x, y)=\int_0^{x-y}(x-y-t) f(t) \mathrm{d} t
$$
则 $($ )
$\text{A.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x}=-\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial y}, \frac{\partial^2 \boldsymbol{F}}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
已知 $I_1=\int_0^1 \frac{x}{2(1+\cos x)} \mathrm{d} x, I_2=\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$, $I_3=\int_0^1 \frac{2 x}{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程为
$\text{A.}$ $y=x+\mathrm{e}$
$\text{B.}$ $y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$
设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t|, \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 连续， $f^{\prime}(0)$ 不存在
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)$ 连续， $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)$ 存在， $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
设函数 $f(x)=\left(x^2+a\right) e^x$ ，若 $f(x)$ 没有极值点，但曲线 $y=f(x)$ 有拐点，则 $a$ 的取值范围是 ( )
$\text{A.}$ $[0,1)$
$\text{B.}$ $[1,+\infty)$
$\text{C.}$ $[1,2)$
$\text{D.}$ $[2,+\infty)$
已知函数 $f(x, y)=\ln (y+|x \sin y|)$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ 不存在, $\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 存在
$\text{B.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ 存在, $\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 不存在
$\text{C.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 均存在
$\text{D.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 均不存在
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, & x \leq 0, \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-\bar{x}\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{F}(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{F}(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^3, \\ y=\mathrm{e}^{t^2}\end{array}\right.$ 确定，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ 2 e
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \mathrm{e}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \mathrm{e}$
$\text{D.}$ $\frac{\mathrm{e}}{3}$
已知函数 $f(x)=\int_0^{\sin x} \sin t^3 \mathrm{~d} t, g(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是奇函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是奇函数
设 $I=\int_a^{a+k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x, k$ 为整数，则 $I$ 的值（）
$\text{A.}$ 只与 $a$ 有关
$\text{B.}$ 只与 $k$ 有关
$\text{C.}$ 与 $a, k$ 均有关
$\text{D.}$ 与 $a, k$ 均无关
设二元函数 $z=f(x, y)$ 连续, 且 $f(x, y)=2 x-y+4+o\left(\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}\right)$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+2 h, 2)-f(1,2-3 h)}{h}=(\quad)$.
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ 2
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^2+y^2+z^2=\int_x^y f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定的二元隐函数, 其中 $f$ 是连续函数, 则 $2 z\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=$
$\text{A.}$ $f(x)-f(y)+2(x-y)$.
$\text{B.}$ $f(y)-f(x)-2(x+y)$.
$\text{C.}$ $f(x)-f(y)+2(x+y)$.
$\text{D.}$ $f(y)-f(x)-2(x-y)$.
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=2$, 若函数 $z=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+$ $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$, 则 $f(\sqrt{2})=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2} \ln 2$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \ln 2$.
$\text{C.}$ $-\ln 2$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left(\mathrm{e}^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
当 $x \rightarrow 1$ 时, 函数 $\frac{x^2-1}{x-1} e ^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
$\text{A.}$ 等于 2 .
$\text{B.}$ 等于 0 。
$\text{C.}$ 为 $\infty$ 。
$\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$
设 $f(x)$ 和 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义, $f(x)$ 为连续函数, 且 $f(x) \neq 0$, $\varphi(x)$ 有间断点, 则
$\text{A.}$ $\varphi[f(x)]$ 必有间断点.
$\text{B.}$ $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点.
$\text{C.}$ $f[\varphi(x)]$ 必有间断点.
$\text{D.}$ $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点.
若 $3 a^2-5 b < 0$, 则方程 $x^5+2 a x^3+3 b x+4 c=0$
$\text{A.}$ 无实根.
$\text{B.}$ 有唯一实根.
$\text{C.}$ 有三个不同实根.
$\text{D.}$ 有五个不同实根.