一、单选题 （共 9 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设曲面 $\Sigma$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=R^2(z \geq 0)$, 曲面 $\Sigma_1$ 是 $\Sigma$ 在第一卦限中的部分, 则有
$\text{A.}$ $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_1} x \mathrm{~d} S$
$\text{B.}$ $\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_1} y \mathrm{~d} S$
$\text{C.}$ $\iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_1} z \mathrm{~d} S$
$\text{D.}$ $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_1} x y z \mathrm{~d} S$
设 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的下半球面的下侧, 将曲面 积分 $\iint_{\Sigma} x^2 y^2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 化为二重积分为
$\text{A.}$ $-\iint_{D_{x y}} x^2 y^2\left(-\sqrt{R^2-x^2-y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \quad D_{x y}: x^2+y^2 \leq R^2$
$\text{B.}$ $-\iint_{D_{x y}} x^2 y^2 \sqrt{R^2-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, $D_{x y}: x^2+y^2 \leq R^2$
$\text{C.}$ $\iint_{D_{x y}} x^2 y^2\left(R^2-x^2-y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, $D_{x y}: x^2+y^2 \leq R^2$
$\text{D.}$ $-\iint_{D_{x y}} x^2 y^2\left(R^2-x^2-y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, $D_{x y}: x^2+y^2 \leq R^2$
设 $f(x, y)=x^2+2 y+y^2+x-y+1$, 则下面结论正确的是
$\text{A.}$ 点 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点且为极大值点
$\text{B.}$ 点 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 是极小值点
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点但不是极值点
$\text{D.}$ 点 $(0,0)$ 是$f(x, y)$ 极大值点
函数 $z=\ln (1-x y)$ 在点 $(0,1)$ 处的全微分 $\mathrm{d} z=$
$\text{A.}$ $dx$
$\text{B.}$ $-dx$,
$\text{C.}$ $dy$
$\text{D.}$ $-dy$
函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z^3-3 x y z=1$ 确定, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$.
$\text{A.}$ $\frac{y z}{z^2-x y}$
$\text{B.}$ $\frac{-y z}{z^2-x y}$
$\text{C.}$ $\frac{z^2-x y}{y z}$
$\text{D.}$ $\frac{z^2-x y}{-y z}$
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq R^2\right\}$, 则 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma=$.
$\text{A.}$ $\pi R^3$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi R^3}{3}$
$\text{C.}$ $\pi R^2$
$\text{D.}$ $2 \pi R^2$
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \ln x d x$
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$
设 $z=\sin \left(x+y^2\right)$ ，则 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}=$.
$\text{A.}$ $-\sin \left(x+y^2\right)$
$\text{B.}$ $-\cos \left(x+y^2\right)$
$\text{C.}$ $\sin \left(x+y^2\right)$
$\text{D.}$ $\cos \left(x+y^2\right)$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{\sin 2 x} \ln (1+t) \mathrm{dt}}{1-\cos x}$ 等于
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
二、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{rr}e^x, & x \geq 0, \\ 1+x^2, & x < 0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=$
设二元函数 $z=z(x, y)$ 的全微分为
$$
\mathrm{d} z=\left(2 x y^3+a \mathrm{e}^y \sin x\right) \mathrm{d} x+\left(3 x^2 y^2+\mathrm{e}^y \cos x\right) \mathrm{d} y,
$$
其中 $a$ 为常数, 则 $z(x, y)$ 在点 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 处沿各个方向的方向导数的最大值为
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n \cdot n} x^n$ 的收敛半径为
函数 $z=5 x^2 y$ 在点 $(1,0)$ 处沿方向 $\vec{l}=(3,-4)$ 的方向导数 $\frac{\partial z}{\partial l}=$
二元函数 $z=\ln \left(y^2-2 x+1\right)$ 的定义域为
二重积分 $\iint_D \sin \left(\max \left\{x^2, y^2\right\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ 其中
$$
D=[0, \sqrt{\pi}] \times[0, \sqrt{\pi}] .
$$
交换积分次序后 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x=$
三、解答题 （ 共 13 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S$, 其中 $\Sigma: z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leq z \leq 4)$.
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z d v$, 其中 $\Omega$ 为曲面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 及 $z=x^2+y^2$ 所围成的闭 区域。
计算曲线积分 $\int_L\left(e^x \sin y-8 y\right) d x+\left(e^x \cos y-8\right) d y$, 其中 L 是由点 $\mathrm{A}(a, 0)$ 到点 O $(0,0)$ 的上半圆周 $x^2+y^2=a x \quad(y \geq 0, a>0)$
计算 $\iint(x+y+z) d S$, 其中曲而 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 上 $z \geq \boldsymbol{h}(0 < \boldsymbol{h} < \boldsymbol{a})$ 的部分
设 $z=f\left(x-y, x^2 y\right), f$ 具有连续的二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
交换二次积分 $I=\int_0^{\sqrt{\pi}} \mathrm{d} x \int_x^{\sqrt{\pi}} \sin y^2 \mathrm{~d} y$ 的次序, 并且求出 $I$ 的值.
计算 $\iint_{\Sigma} x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$, 其中 $\Sigma$ 为圆柱面 $x^2+y^2=R^2$ 介于平面 $z=0$ 和 $z=h$ 之间部分的外侧.
计算二重积分 $\iint_D \frac{x+y}{x^2+y^2} d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x+y \geq 1\right\}$ 。
计算 $\iint_D y^5 \sqrt{1+x^2-y^6} d x d y$, 其中 $D$ 是由 $y=\sqrt[3]{x}, x=-1$ 及 $y=1$ 所围成的区域。
抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离。
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有连续导数, 且 $f(0)=1, g(0)=0, L$ 为平面上任意简 单光滑闭曲线, 取逆时针方向, $L$ 围成的平面区域为 $D$, 已知
$$
\oint_L x y d x+[y f(x)+g(x)] d y=\iint_D y g(x) d \sigma,
$$
求 $f(x)$ 和 $g(x)$ 。
设 $z=f(x, y)$ 是由方程 $\mathrm{e}^x z+x y z+\frac{1}{2} z^2-1=0$ 确定的隐函数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
经过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线,该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 D. 求：（1）D 的面积; (2) $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.