一、解答题 （ 共 11 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $u=y f\left(\frac{x}{y}\right)+x g\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中函数 $f, g$ 具有二阶连续导数, 求 $x \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$.
设 $u=f(x, y, z), \varphi\left(x^{2}, \mathrm{e}^{y}, z\right)=0, y=\sin x$, 其中 $f, \varphi$ 都具有一阶连续偏导数, 且 $\frac{\partial \varphi}{\partial z} \neq 0$, 求 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$.
设变换 $\left\{\begin{array}{l}u=x-2 y, \\ v=x+a y\end{array}\right.$ 可把方程 $6 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ 简化为 $\frac{\partial^{2} z}{\partial u \partial v}=0$, 求常数 $a$. (这里应假设 $z$ 有二阶连续偏导数. )
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数, 且满足条件 $|f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$, 其中 $a, b$ 都是非负常数, $c$ 是 $(0,1)$ 内任意一点.
(1) 写出 $f(x)$ 在点 $x=c$ 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式;
(2) 证明 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 a+\frac{b}{2}$.
设函数 $z=\left(x^2+y^2\right) f\left(x^2+y^2\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$, 且 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$, 若 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上有连续二阶导数, 求 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 的最大值.
设函数 $f(x)$ 二阶可导, $f(0)=1$, 且有
$$
f^{\prime}(x)+3 \int_0^x f^{\prime}(t) \mathrm{d} t+2 x \int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t+\mathrm{e}^{-x}=0,
$$
求 $f(x)$.