一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处有二阶连续偏导数, 且 $f(x, y)$ 在 $P_0$ 处取得极大 值, 则
$\text{A.}$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \geqslant 0, f_{y y}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \geqslant 0$.
$\text{B.}$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(P_0\right) < 0, f_{y y}^{\prime \prime}\left(P_0\right) < 0$.
$\text{C.}$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \leqslant 0, f_{y y}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \leqslant 0$.
$\text{D.}$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \leqslant 0, f_{y y}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \geqslant 0$.
设 $f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数, 若 $f\left(x, x^2\right)=x^3, f_x\left(x, x^2\right)=x^2-2 x^4$, 则 $f_y\left(x, x^2\right)=$
$\text{A.}$ $x+x^3$
$\text{B.}$ $2 x^2+2 x^4 $
$\text{C.}$ $x^2+x^5$
$\text{D.}$ $2 x+2 x^2$
函数 $z=\ln (1-x y)$ 在点 $(0,1)$ 处的全微分 $\mathrm{d} z=$
$\text{A.}$ $dx$
$\text{B.}$ $-dx$,
$\text{C.}$ $dy$
$\text{D.}$ $-dy$
函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z^3-3 x y z=1$ 确定, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$.
$\text{A.}$ $\frac{y z}{z^2-x y}$
$\text{B.}$ $\frac{-y z}{z^2-x y}$
$\text{C.}$ $\frac{z^2-x y}{y z}$
$\text{D.}$ $\frac{z^2-x y}{-y z}$
设 $z=\sin \left(x+y^2\right)$ ，则 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}=$.
$\text{A.}$ $-\sin \left(x+y^2\right)$
$\text{B.}$ $-\cos \left(x+y^2\right)$
$\text{C.}$ $\sin \left(x+y^2\right)$
$\text{D.}$ $\cos \left(x+y^2\right)$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^2+y^2\right) \cos \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right), & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 不存在
$\text{B.}$ $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 连续
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不连续
设函数 $f(x, y)=x|x|+|y|$ ，则
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0) ， f_y^{\prime}(0,0)$ 都存在
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0) ， f_y^{\prime}(0,0)$ 都不存在
设函数 $z=x y f\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中 $f(u)$ 可导, 若 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=x y(\ln y-\ln x)$, 则
$\text{A.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=0$
$\text{B.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$
已知函数 $f(x, y)=|x-y| g(x, y)$, 其中 $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内有定义, 则 $f(x, y)$在点 $(0,0)$ 处偏导数存在的充分条件是
$\text{A.}$ $g(0,0)=0$.
$\text{B.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在且 $g(0,0)=0$.
$\text{D.}$ $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $g(0,0)=0$.
设 $f(x, y)$ 为可微函数, $f_y^{\prime}(x, x+y)=2 y, f(x, x)=x^2$, 则 $f_x^{\prime}(x, y)=$
$\text{A.}$ $4 x$
$\text{B.}$ $4 x+2 y$
$\text{C.}$ $2 y$
$\text{D.}$ $4 x-2 y$
设函数 $f(x)$ 连续, 满足 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$. 若 $\int_0^1 \mathrm{e}^{1-x} f\left(x \mathrm{e}^{1-x}\right) \mathrm{d} x=1$, 则 $\int_0^1 x \mathrm{e}^{1-x} f\left(x \mathrm{e}^{1-x}\right) \mathrm{d} x$ $= $
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ e
若二元函数 $f(x, y)$ 存在二阶连续偏导数, 且满足 $f(x, y)=-f(y, x)$, 则下列结论中, 错误的是
$\text{A.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=f_{22}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{B.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{22}^{\prime \prime}(y, x)$.
$\text{C.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=f_{21}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{D.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{21}^{\prime \prime}(y, x)$.
二、填空题 （共 15 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设可微函数 $z=z(x, y)$ 满足 $x^2 \frac{\partial z}{\partial x}+y^2 \frac{\partial z}{\partial y}=2 z^2$, 又设 $u=x, v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$,
$w=\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$, 则对函数 $w=w(u, v)$, 偏导数 $\left.\frac{\partial w}{\partial u}\right|_{\substack{u=2 \\ v=1}}=$
设 $z=f\left(x^2-y^2, x y\right)$, 且 $f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial y}=$
设 $z=f\left(x^2-y^2, x y\right)$, 且 $f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数,则 $\frac{\partial z^2}{\partial x \partial y}=$
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f^{\prime}(x)=f(1-x), f(0)=1$ 则 $f(x)=$
已知函数 $f(x, y)=4+a x+a y$ 在区域 $x^2+y^2 \leqslant 1$ 上的最小值与最大值之积为 $\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$,则 $a=$
若 $z(x, y)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{u^2}{x^2+x y+y^2}} \mathrm{~d} u$, 则 $\frac{x}{z} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{y}{z} \frac{\partial z}{\partial y}=$
设 $\varphi(u)$ 为连续函数, 且 $\int_{y-x}^{x-y} \varphi(t-x-y) \mathrm{d} t=x^2+y^2+z$, 则 $y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=$
已知方程 $3 x^4-8 x^3-6 x^2+24 x+a=0$ 有四个不相同的实根, 则 $a$ 的取值范围为
设 $x \geq 0, y \geq 0$, 满足 $x^2+y^2 \leq k e^{x+y}$, 则 $k$ 的取值范围是
设 $f(x)$ 二阶可导, $f(1)=1, g(x)$ 为其反函数, $g^{\prime}(1)=g^{\prime \prime}(1)=a \neq 0$, 则 $\left.\left[\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2} \int_0^{f(x)} \operatorname{tg}(t) \mathrm{d} t\right]\right|_{x=1}=$
设 $z=\sin x+\sin (x y)+\int_0^{x+y} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t$, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{2+x y}-\sqrt{2}}=$
圆 $x^2+y^2=3$ 上到点 $(0,0),(2,0),(0,1)$ 的距离的平方和最小的点为