一、填空题 （共 19 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $u=\mathrm{e}^{-x} \sin \frac{x}{y}$, 则 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 在点 $\left(2, \frac{1}{\pi}\right)$ 处的值为
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
设 $z=z(x, y)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{l}x=(t+1) \cos z, \\ y=t \sin z\end{array}\right.$ 确定, $t=t(x, y)$, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
设二元函数 $z=z(x, y)$ 有二阶连续偏导数, 且满足
$$
6 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=1,
$$
令变量 $\left\{\begin{array}{l}u=x-2 y \\ v=x+3 y\end{array}\right.$, 那么 $\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}=$
设 $z=\frac{1}{x} f\left(x^2 y\right)+x y g(x+y)$ ，其中 $f, g$ 具有二阶连续导数， 计算 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
已知函数 $u(x, y)$ 的全微分为 $2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y$, 则 $u(x, y)=$
(求出满足条件的任何一个函数均可)
设 $z=\sqrt{\ln (x y)}$, 则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
函数 $u=e^{y\left(x^2+y^2\right)}$, 则 $d u=$
已知 $\mathrm{d} u(x, y)=\frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{3 x^2-2 x y+3 y^2}$ ，则 $u(x, y)=$
二元函数 $f(x, y)=3 x y-x^3-y^3+3$ 的所有极值的和等于
设函数 $f(x, y)$ 具有连续的一阶偏导数，
$$
f(1,1)=1, f_x^{\prime}(1,1)=a \text { 且 } f_y^{\prime}(1,1)=b ，
$$
则函数 $u(x)=f(x, f(x, x))$ 的微分为
设函数 $z=f(x, y)$ 的二阶偏导数存在, $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=4$, 且 $f(x, 0)=2, f_y^{\prime}(x, 0)=x^2$, 则 $f(x, y)=$
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,2)$ 的某邻域内可微, 且 $f(x, y+2)=2+3 x+4 y+o(\rho)$, 其中 $\rho=$ $\sqrt{x^2+y^2}$, 则曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,2)$ 处的全微分为
二、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $z=f(2 x-y)+g(x, x y)$, 其中函数 $f(t)$ 二阶可导, $g(u, v)$ 具有连续的二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.
设 $z=f\left(\mathrm{e}^{x} \sin y, x^{2}+y^{2}\right)$, 其中 $f$ 具有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.
设函数 $Q(x, y)$ 在 $x O y$ 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分 $\int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 与路径无关, 并且 对任意 $t$ 恒有
$$
\int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y,
$$
求 $Q(x, y)$.
证明: 二元函数 $f(x, y)=x^3-4 x^2+2 x y-y^2$在 $\mathbb{R}^2$ 上有唯一的极值点，且该极值点是极大值点但不是最大值点.
定义函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x} e^{-\frac{1}{x^2}}, x \neq 0 \\ 0 & , x=0\end{array}\right.$.
(1) 证明: $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续且可导.
(2) 证明: $f^{\prime}(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续.
(3) 求 $f(x)$ 的单调区间、最大值点、最小值点.
$\lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\frac{x y}{x^2+y^2}\right)^{x^2}$.
已知 $u$ 是关于 $x, y$ 的函数，且满足:
$u=f(x, y, z, t), g(y, z, t)=0, h(z, t)=0 .$
求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^2-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2 y}{\sqrt{x^2+y^2}}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0 \quad, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，求二阶偏导数 $f_{x y}^{\prime \prime}$.
设函数 $z(x, y)$ 满足 $\mathrm{d} z=\mathrm{e}^{a x}\left(x y+y+2 y^2\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{a x}(2 b y+x) \mathrm{d} y$, 且 $z(0,0)=0$.
(I) 求 $a, b$;
(II) 求 $z(x, y)$ 的极值.
设由 $\ln \sqrt{x^2+y^2}=\arctan \frac{y}{x}$ 确定了 $y=y(x)$, 求 $\frac{d y}{d x}$.
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=2$. 对每个正数 $r$, 令平面区域 $D_r=$ $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant r^2\right\}$, 并选取一点 $(\xi, \eta) \in D_r$ 使得 $\iint_{D_r} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pi r^2 f\left(\xi^2+\eta^2\right)$. 求 $\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\xi^2+\eta^2}{r^2}$
设函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的连续正值函数, $F(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的连续函数, 且对 $x \in(0, \pi)$, $F(x)=\frac{\int_0^x(1-\cos t) f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^x t^2 f(t) \mathrm{d} t}$. 求 $F(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值.