一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
设可微函数 $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处沿 $\boldsymbol{l}_1=(-1,0)$ 与 $\boldsymbol{l}_2=(0,-1)$ 的方向导数分别 为 $2 a x-3 x^2$ 与 $2 a y-3 y^2(a>0)$, 且 $f(0,0)=0$, 若 $f(x, y)$ 有极小值 $-8$, 求 $a$ 的值及 $f(x, y)$ 的表达式.
设 $z=f\left(e^x \sin y, x^2+y^2\right), f$ 其有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0\end{array}\right.$;
证明: (1) $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0), \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ 存在;
(2) $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y), \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续;
(3) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微.
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有二阶连续导数, $f(0)=g(0)=1$, 且对 $x O y$ 平面上的任一简单闭曲线 $C$, 曲线积分
$$
\oint_C\left[y^2 f(x)+2 y \mathrm{e}^x-8 y g(x)\right] \mathrm{d} x+2[y g(x)+f(x)] \mathrm{d} y=0,
$$
求函数 $f(x), g(x)$.
设函数 $z=f\left(x, 2 x-y, x^2+y^2\right)$ ，其中 $f$ 具有二 阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
设二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y^3}{x^2+y^4}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$. 讨 论 $f$ 在原点的连续性，偏导数的存在性以及 $f$ 在原点的可微性.
计算 $f(x, y)=5 x^2+5 y^2-8 x y$ 在条件 $x^2+y^2-x y=75$ 下的最小值.
设函数 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶连续导数. 二元函数 $F(x, y)=x^2 f\left(\frac{y}{x}\right)+f(x y)$, 且满 足 $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}-\frac{y^2}{x^2} \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=\frac{2 y}{x} \ln \frac{y}{x}$. 若 $f(1)=1$, 求 $f(u)$ 的表达式.
设 $f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}$ ，求 $f^{(2019)}(0)$.
已知 $y=\left(1+x^2\right) \arctan x$, 求 $y^{\prime \prime}$
设函数 $y=y(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=f(x, t) \\ t=F(x, y)\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{d y}{d x}$ ( 假定隐函数定理条件满 足)
设 $z=u(x, y) e^{a x+b y}, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0$, 试确定 $a, b$ 使 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}+z=0$
求函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2$ 在条件 $a_1 x+a_2 y+a_3 z=1\left(a_i>0, i=1,2,3\right)$ 下的最小值。
设定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数二阶可导, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在, $f^{\prime \prime}(x)$ 有界,证明 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。
设 $z=(1+x y)^2 \ln (1+x y)$, 求 $z_x^{\prime}$ 。
求函数 $u=x^3+2 y^2-3 x-12 y$ 的极值。
设 $x=e^{u+v}, y=e^{u-v}$, 试将方程 $x^2 z_{x x}^{\prime \prime}+y^2 z_{y y}^{\prime \prime}+x z_x^{\prime}+y z_y^{\prime}=0$ 从化为关于自变量 $u, v$ 的方程 (假设 $z=z(x, y)$ 有连续的二阶偏导数)。
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-x} \int_0^x \frac{t^{2023}}{1+t^2} \mathrm{~d} t$, 正整数 $n \leq 2023$, 求导数 $f^{(n)}(0)$.
已知 $z=f\left(x^2, x+y+z\right)$, 其中 $f$ 连续可偏导, 且 $\mathrm{e}^{y+z}=x^2+z$, 求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$.
设 $ {u=f(x, y, z)}, z=z(x, y)$ 是由方程 ${\varphi(x+y, z)=1}$所确定的隐函数, 求 $\frac{\partial u}{\partial x}, d u, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$. 其中 $f$ 和 $\varphi$ 有二阶连续偏导数且 $\varphi_2 \neq 0$.
设函数 $z=z(x, y)$ 的微分 $d z=(2 x+12 y) d x+(12 x+4 y) d y$ 且 $z(0,0)=0$, 求函数 $z=z(x, y)$ 在 $4 x^2+y^2 \leq 25$ 上的最大值
对于任意二阶连续可导的函数 $f(u), z=\int_0^y \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t+f(x+a y)$ 均是方程 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2 y \mathrm{e}^{y^2}$ 的解, 求 $a$ 的值.
设 $z=z(x, y)$ 是方程 $z^3=1+3 x y$ 所确定的隐函数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
证明: 当 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 时, 有 $\frac{x^2+y^2}{4} \leqslant e^{x+y-2}$
设 $f(x, y)=x^3-3 x^2 y-y^3+x^2-y$.
(1) 证明: 存在 $\delta>0$, 以及定义于 $(-\delta, \delta)$ 上的连续可微函数 $y=y(x)$, 满足 $y(0)=0$, 以及 $f(x, y(x))=0$.
(2) 证明: $x=0$ 时 (1) 中的 $y(x)$ 取到极小值.
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+2 t+1 \\ t-\int_1^{y+t} \mathrm{e}^{-u^2} \mathrm{~d} u=0\end{array}\right.$ 确定, 求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=0},\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}$.