题号:2976    题型:解答题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学一)
设可微函数 $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处沿 $\boldsymbol{l}_1=(-1,0)$ 与 $\boldsymbol{l}_2=(0,-1)$ 的方向导数分别 为 $2 a x-3 x^2$ 与 $2 a y-3 y^2(a > 0)$, 且 $f(0,0)=0$, 若 $f(x, y)$ 有极小值 $-8$, 求 $a$ 的值及 $f(x, y)$ 的表达式.
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答案:
解 依题设, 沿 $l_1$ 与 $l_2$ (即 $x$ 轴负向, $y$ 轴负向) 的方向导数为 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 的相反数, 故$$
\begin{gathered}
\frac{\partial f}{\partial x}=3 x^2-2 a x, \frac{\partial f}{\partial y}=3 y^2-2 a y \\
f(x, y)=\int \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{~d} x=x^3-a x^2+\varphi(y)
\end{gathered}
$$
由 $\frac{\partial f}{\partial y}=\varphi^{\prime}(y)=3 y^2-2 a y$, 得 $\varphi(y)=y^3-a y^2+C$. 故
$$
f(x, y)=x^3+y^3-a x^2-a y^2+C .
$$
由 $f(0,0)=0$, 得 $C=0$, 所以 $f(x, y)=x^3+y^3-a x^2-a y^2$.
求 $f(x, y)$ 的极小值点, 由 $\left\{\begin{array}{l}f_x^{\prime}=3 x^2-2 a x=0, \\ f_y^{\prime}=3 y^2-2 a y=0,\end{array}\right.$ 得驻点 $(0,0),\left(0, \frac{2}{3} a\right),\left(\frac{2}{3} a, 0\right)$, $\left(\frac{2}{3} a, \frac{2}{3} a\right)$, 且 $f_{x x}^{\prime \prime}=6 x-2 a, f_{x y}^{\prime \prime}=0, f_{y y}^{\prime \prime}=6 y-2 a$.
对于点 $(0,0), A=-2 a < 0, B=0, C=-2 a, A C-B^2=4 a^2 > 0$, 故 $f(0,0)=0$ 为 极大值.
对于点 $\left(0, \frac{2}{3} a\right), A=-2 a, B=0, C=2 a, A C-B^2=-4 a^2 < 0$, 故 $f(x, y)$ 不取得 极值.
同理,在点 $\left(\frac{2}{3} a, 0\right)$ 处, $f(x, y)$ 也不取得极值.
对于点 $\left(\frac{2}{3} a, \frac{2}{3} a\right), A=2 a > 0, B=0, C=2 a, A C-B^2=4 a^2 > 0$, 故 $f(x, y)$ 取得 极小值.
由已知, $f\left(\frac{2}{3} a, \frac{2}{3} a\right)=-\frac{4}{27} \cdot 2 a^3=-8$, 即 $a^3=27$, 解得 $a=3$, 故 $f(x, y)=x^3+$ $y^3-3 x^2-3 y^2$
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