单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若函数 $f(x)=x^3-3 x+4$ 的零点的个数是 ( $\quad$ )
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
函数 $f(x)=2 x^3-6 x+m$ 有三个零点, 则实数 $m$ 的取值范围是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $[-4,4]$
$\text{B.}$ $(-4,4)$
$\text{C.}$ $(-\infty,-4] \cup[4,+\infty)$
$\text{D.}$ $(-\infty,-4) \cup(4,+\infty)$
已知函数 $f(x)=x^2-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$ 有唯一零点, 则 $a=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
设 $f^{\prime}(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数, $y=f^{\prime}(x)$ 的图象如图所示, 则下列说法不正确的是 ( )
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有三个零点
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有两个极小值点
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有一个极大值点
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有两个单调递减区间
若函数 $f(x)=\ln x+\frac{a}{x}-2(x>1)$ 有两个不同的零点, 则实数 $a$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $(2,+\infty)$
$\text{B.}$ $(1,2]$
$\text{C.}$ $(1,+\infty)$
$\text{D.}$ $(2, \mathrm{e})$
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^x+a(x-1)+b$ 在区间 $[1,3]$ 上存在零点, 则 $a^2+b^2$ 的最小值为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\mathrm{e}}{2}$
$\text{B.}$ e
$\text{C.}$ $\frac{\mathrm{e}^2}{2}$
$\text{D.}$ $e^2$
若函数 $f(x)=x^2+a \mathrm{x}^x-a \mathrm{e}^{2 x}(a \in R)$ 有三个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}^2-\mathrm{e}}\right) \cup\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right)$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}^2-\mathrm{e}}\right)$
已知函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 满足: $f^{\prime}(x)-f(x)=\mathrm{e}^{2 x}$, 且 $f(0)=2$. 若函数 $g(x)=\mathrm{e}^{-x} f(x)+\mathrm{e}^{2-x}+(a-1) \sin \left(\frac{\pi}{3} x+\frac{\pi}{6}\right)$ 有且只有一个零点, 则实数 $a$ 的值为（）
$\text{A.}$ -e
$\text{B.}$ $-2 e$
$\text{C.}$ e
$\text{D.}$ 2 e
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-x^2$ ，则下列说法正确的是（）
$\text{A.}$ $f(x)$ 有两个不同零点
$\text{B.}$ $\exists x \in(0,+\infty), f(x) < \ln x-x^2+2$
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 R 上单调递增
$\text{D.}$ 若函数 $y=f(x)-\ln x+x^2$ 在 $x=x_0$ 处取得最小值，则 $x_0 \in(0,1)$
已知 $f(x)=x-\frac{x^2}{\pi}-\sin x$, 则下列说法中正确的有
$\text{A.}$ $f(x)$ 的零点个数为 2
$\text{B.}$ $f(x)$ 的零点个数为 4
$\text{C.}$ $f(x)$ 的极值点个数为 3
$\text{D.}$ $f(x)$ 的极值点个数为 2
已知 $x_1, x_2$ 分别是函数 $f(x)=\mathrm{e}^x+x-2$ 和 $g(x)=\ln x+x-2$ 的零点, 则 ( )
$\text{A.}$ $x_1+x_2=2$
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{x_1}+\ln x_2=2$
$\text{C.}$ $x_1 x_2>\frac{\sqrt{e}}{2}$
$\text{D.}$ $x_1^2+x_2^2 < 3$
已知函数 $f(x)=x-a \mathrm{e}^x$ 有两个零点 $x_1, x_2$, 且 $x_1 < x_2$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $0 < a < \frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{B.}$ $\frac{x_2}{x_1}$ 随 $a$ 的增大而减小
$\text{C.}$ $x_1+x_2$ 随 $a$ 的增大而增大
$\text{D.}$ $x_1 x_2$ 随 $a$ 的增大而增大
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 R , 若 $f(x+1)$ 是偶函数, $g(x)=(x-1) f^{\prime}(x)-1$ 恰有四个零点,则这四个零点的和为
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{x-1}, x \leq 1, \\ \ln (x-1), x>1,\end{array}\right.$ 若函数 $g(x)=f(x)-x+a$ 只有一个零点, 则 $a$ 的取值范围为 $\qquad$
已知函数 $f(x)=a\left(2^x-1\right)-x\left(2^x+1\right)(a>0)$ 的零点为 $x_1 、 x_2 、 x_3$, 且 $x_1 < x_2 < x_3$, 则 $\frac{x_1+x_2}{\mathrm{e}^{x_3}}$ 的最小值是
已知函数 $f(x)=\ln (x+1)-x+1$, 函数 $g(x)=a \mathrm{e}^x-x+\ln a$, 若函数 $F(x)=f(x)-g(x)$ 有两个零点,则实数 $a$ 的取值范围