单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\int_0^x \ln \left(1+t^3\right) \mathrm{d} t, g(x)=x^2$. 若当 $x \rightarrow 0^{+}$时, $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小, 而当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $\frac{1}{g(x)}$ 是 $\frac{1}{f(x)}$ 的高阶无穷小, 则常数 $\alpha$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $(0,3)$.
$\text{B.}$ $(1,3)$.
$\text{C.}$ $(0,4)$.
$\text{D.}$ $(1,4)$.
设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的法线通过原点, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[f\left(\frac{x}{x+1}\right)-f\left(\frac{x+2}{x+1}\right)\right]=$
$\text{A.}$ -2 .
$\text{B.}$ -1 .
$\text{C.}$ 1.
$\text{D.}$ 2 .
设当 $x>0$ 时, 函数 $f(x)$ 满足方程 $x f^{\prime}(x)-\alpha f(x)=x^a$ ( $\alpha$ 为常数), 且 $f(1)=0$. 若 $f(x)$在 $(0,+\infty)$ 内有最大值 1 , 则常数 $\alpha$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{\mathrm{e}}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{\mathrm{e}}$.
$\text{C.}$ -e .
$\text{D.}$ e.
下列积分中, 发散的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \sin x \mathrm{~d} x$.
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} \mathrm{~d} x$.
$\text{C.}$ $\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{x^2} \mathrm{~d} x$.
$\text{D.}$ $\int_0^1 \frac{x-1}{\ln x} \mathrm{~d} x$.
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^2+y^2+z^2=\int_x^y f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定的二元隐函数, 其中 $f$ 是连续函数, 则 $2 z\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=$
$\text{A.}$ $f(x)-f(y)+2(x-y)$.
$\text{B.}$ $f(y)-f(x)-2(x+y)$.
$\text{C.}$ $f(x)-f(y)+2(x+y)$.
$\text{D.}$ $f(y)-f(x)-2(x-y)$.
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=2$, 若函数 $z=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+$ $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$, 则 $f(\sqrt{2})=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2} \ln 2$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \ln 2$.
$\text{C.}$ $-\ln 2$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^2+y^2 \leqslant \frac{3}{4}\right.\right\}$, 则二重积分
$$
I=\iint_D \min \left\{x^2+y^2, \sqrt{\frac{3}{4}-x^2-y^2}\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=
$$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{24}$.
$\text{B.}$ $\frac{5 \pi}{24}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{12}$.
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & -1 & 2 x & -x \\ 3 & x & 4 & 1 \\ 2 & 0 & -x & -1 \\ -1 & 3 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项的系数为
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ 4
设有齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$, 其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $m \times n$ 实矩阵, 现有 4 个命题:
(1) 若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 的解，且 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关，则 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组也线性无关；
(2) 若 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，则 $r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}\right)=r(\boldsymbol{B})$ ；
(3) 若 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$, 则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 同解;
(4) 若 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$, 且 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 的解, 则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 同解.
以上命题正确的是
$\text{A.}$ (1)(2).
$\text{B.}$ (2)(3).
$\text{C.}$ (1)(4).
$\text{D.}$ (2)(4).
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, 且存在 $n$ 维实列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$, 使得 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}>0, \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta} < 0$, 则对于二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的正惯性指数 $p$ ，负惯性指数 $q$ ，下列结论正确的是
$\text{A.}$ $p \geqslant 1, q \geqslant 1$.
$\text{B.}$ $p \geqslant 1, q=0$.
$\text{C.}$ $p=0, q \geqslant 1$.
$\text{D.}$ $p+q \leqslant 2$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=x+\sqrt{x^2-3 x+5}$ 的斜渐近线为
设函数 $f(x)$ 连续, 且满足 $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} f(x)-\frac{1}{4}\left(\mathrm{e}^{2 x}-1\right)$, 则 $f^{(n)}(x)=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1+\mathrm{e}^x}, & x < 0, \\ \frac{x}{\mathrm{e}^{-x^2}-2}, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $\int_0^2 f(x-1) \mathrm{d} x=$
设函数 $f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数, 且 $f(1,1)=1, f_x^{\prime}(1,1)=a, f_y^{\prime}(1,1)=\frac{a}{2}$, 其中 $a$ 为常数. 又设函数 $F(x)=f[x, f(x, x)]$, 则微分 $\left.\mathrm{d} F\right|_{x=1}=$
设 $D$ 是由直线 $y=x+3, y=\frac{x}{2}-\frac{5}{2}, y=\frac{\pi}{2}$ 及 $y=-\frac{\pi}{2}$ 所围成的平面区域，则二重积分 $I=\iint_D(1+x) \sqrt{1-\cos ^2 y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2-a x_3\right)^2+\left(a x_3+x_1\right)^2$ 的秩为 2 , 则 $a=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x\left[\int_0^{u^2} \sin t \cdot \arctan (1+t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} u}{x^3(\sqrt[3]{1+x}-1)^2}$.
求函数 $f(x, y)=x^2+6 x y+2 y^2$ 在闭区域 $D=\left\{(x, y) \mid 2 x^2+y^2 \leqslant 6\right\}$ 上的最大值与最小值.
设函数 $y=f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 内连续可导, 且曲线 $y=f(x)$ 上介于点 $A(1, f(1))$ 与点 $B(x, f(x))$ 之间的一段弧的弧长为 $f(x)+x^2-1$.
(1) 求函数 $y=f(x)$ 的表达式;
(2) 设曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=2$ 及 $x$ 轴所围的有界区域为 $D$, 求 $D$ 围绕 $y$ 轴旋转一周所成的旋转体的体积 $V$.
设 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} \leqslant t^{\frac{2}{3}}\right.\right\}$, 且 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos ^3 \sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ a, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在
全平面连续.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 计算 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^2} \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}=2$. 证明：
(1) $\exists \xi \in(0,1)$, 使 $f(\xi)=0$;
(2) $\exists \eta \in(0,1)$, 使 $f^{\prime \prime}(\eta)-f(\eta)=0$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵.
(1) 令 $\boldsymbol{M}=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{2023}+(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{2022}+\cdots+(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^3+(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^2+\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$, 求矩阵 $\boldsymbol{M}$;
（2）求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{M P}=\boldsymbol{B}$.