单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[a x \ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)-\operatorname{arccot} \frac{1}{x}\right]$ 存在, 则 $a=(\quad)$
$\text{A.}$ $\pi$.
$\text{B.}$ $-\pi$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{\pi}$.
$\text{D.}$ $-\frac{1}{\pi}$.
设当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，已知函数 $y=x^2 \ln x$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=$ $\varphi\left(\frac{1}{\ln x}\right) \Delta x+\alpha$, 则 $\varphi(u)=(\quad)$
$\text{A.}$ $(2 u+1) e^u$.
$\text{B.}$ $(2 u-1) e^u$.
$\text{C.}$ $\left(\frac{2}{u}+1\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{u}}$.
$\text{D.}$ $\left(\frac{2}{u}-1\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{u}}$.
设函数 $f(x, y)$ 可微，满足 $f\left(x^2, x+1\right)=x^2(x-1)$ ，且 $f_1^{\prime}(1,2)=1$ ，则曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,2, f(1,2))$ 处的切平面方程为 ( )
$\text{A.}$ $x-y-z+1=0$.
$\text{B.}$ $x-y+z+1=0$.
$\text{C.}$ $x-y-z-3=0$.
$\text{D.}$ $x-y+z-3=0$.
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为数列, 且对任意正整数 $n, a_{n+1}-a_n \neq 0$, 则下列命题中, 正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_n\right)$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛.
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n+1}-a_n\right)$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛.
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_n\right)$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n+1}-a_n\right)$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.
设 $A, B$ 为 3 阶非零矩阵，若存在两个线性无关的 3 维列向量 $b_1, b_2$ ，使得方程组 $A x=b_i$ 与 $B x=b_i(i=1,2)$ 均有解，则下列说法中，正确的是
$\text{A.}$ $A$ 的行向量组与 $B$ 的行向量组等价.
$\text{B.}$ $A$ 的列向量组与 $B$ 的列向量组等价。
$\text{C.}$ 若 $A$ 的行向量组不能线性表示 $B$ 的行向量组，则 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组必能线性表示 $A$ 的行向量组
$\text{D.}$ 若 $A$ 的列向量组不能线性表示 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组，则 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组必能线性表示 $A$ 的列向量组。
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a & a & b \\ a & b & a \\ b & a & a\end{array}\right)(a b \neq 0)$ 的正、负惯性指数相同，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}a & 0 & 0 \\ 0 & -a & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 a & 0 & 0 \\ 0 & -2 a & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}3 a & 0 & 0 \\ 0 & -3 a & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}4 a & 0 & 0 \\ 0 & -4 a & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 记 $\hat{\lambda}_1$ 为 $\lambda$ 的矩估计量， $\hat{\lambda}_2$ 为 $\lambda$ 的最大似然估计星，则下列说法中，正确的是（）
$\text{A.}$ $\hat{\lambda}_1, \hat{\lambda}_2$ 均是 $\lambda$ 的无偏估计。
$\text{B.}$ $\hat{\lambda}_1$ 是 $\lambda$ 的无偏估计， $\hat{\lambda}_2$ 不是 $\lambda$ 的无偏估计。
$\text{C.}$ $\hat{\lambda}_1$ 不是 $\lambda$ 的无偏估计， $\hat{\lambda}_2$ 是 $\lambda$ 的无偏估计。
$\text{D.}$ $\hat{\lambda}_1, \hat{\lambda}_2$ 均不是 $\lambda$ 的无偏估计.
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{5 n} \frac{k}{n^{\frac{3}{2}} \sqrt{16 n-3 k}}=$
微分方程 $3 x \mathrm{~d} y=y\left(1+2 x y^3 \ln x\right) \mathrm{d} x$ 满足条件 $y(1)=\sqrt[3]{2}$ 的解为 $y=$