2025硕士研究生入学考试数学一模拟卷（李艳芳版）2024年考研数学预测三套卷（数一）第三套试题2023版

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2025硕士研究生入学考试数学一模拟卷（李艳芳版）2024年考研数学预测三套卷（数一）第三套试题2023版

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 设

lim_{x \to 0} [a x \ln (1 + e^{\frac{1}{x}}) - arccot \frac{1}{x}]

存在, 则

a = ()

A.

π

B.

- π

C.

\frac{1}{π}

D.

- \frac{1}{π}

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2. 设当

Δ x \to 0

时，

α

是

Δ x

的高阶无穷小，已知函数

y = x^{2} \ln x

在任意点

x

处的增量

Δ y =

φ (\frac{1}{\ln x}) Δ x + α

, 则

φ (u) = ()

A.

(2 u + 1) e^{u}

B.

(2 u - 1) e^{u}

C.

(\frac{2}{u} + 1) e^{\frac{1}{u}}

D.

(\frac{2}{u} - 1) e^{\frac{1}{u}}

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3. 设函数

f (x, y)

可微，满足

f (x^{2}, x + 1) = x^{2} (x - 1)

，且

f_{1}^{'} (1, 2) = 1

，则曲面

z = f (x, y)

在点

(1, 2, f (1, 2))

处的切平面方程为 ( )

A.

x - y - z + 1 = 0

B.

x - y + z + 1 = 0

C.

x - y - z - 3 = 0

D.

x - y + z - 3 = 0

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4. 已知

{a_{n}}

为数列, 且对任意正整数

n, a_{n + 1} - a_{n} \neq 0

, 则下列命题中, 正确的是

A.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n + 1} - a_{n})

收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛.

B.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} n (a_{n + 1} - a_{n})

收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛.

C.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n + 1} - a_{n})

发散, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

发散.

D.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} n (a_{n + 1} - a_{n})

发散, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

发散.

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5. 设

A, B

为 3 阶非零矩阵，若存在两个线性无关的 3 维列向量

b_{1}, b_{2}

，使得方程组

A x = b_{i}

与

B x = b_{i} (i = 1, 2)

均有解，则下列说法中，正确的是

A.

A

的行向量组与

B

的行向量组等价.

B.

A

的列向量组与

B

的列向量组等价。

C.

若

A

的行向量组不能线性表示

B

的行向量组，则

B

的行向量组必能线性表示

A

的行向量组

D.

若

A

的列向量组不能线性表示

B

的列向量组，则

B

的列向量组必能线性表示

A

的列向量组。

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6. 已知矩阵

A = (\begin{array}{lll} a & a & b \\ a & b & a \\ b & a & a \end{array}) (a b \neq 0)

的正、负惯性指数相同，则

A

相似于

A.

(\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ 0 & - a & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

B.

(\begin{array}{ccc} 2 a & 0 & 0 \\ 0 & - 2 a & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

C.

(\begin{array}{ccc} 3 a & 0 & 0 \\ 0 & - 3 a & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

D.

(\begin{array}{ccc} 4 a & 0 & 0 \\ 0 & - 4 a & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

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7. 设总体

X

服从参数为

λ

的泊松分布,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本, 记

{\hat{λ}}_{1}

为

λ

的矩估计量，

{\hat{λ}}_{2}

为

λ

的最大似然估计星，则下列说法中，正确的是（）

A.

{\hat{λ}}_{1}, {\hat{λ}}_{2}

均是

λ

的无偏估计。

B.

{\hat{λ}}_{1}

是

λ

的无偏估计，

{\hat{λ}}_{2}

不是

λ

的无偏估计。

C.

{\hat{λ}}_{1}

不是

λ

的无偏估计，

{\hat{λ}}_{2}

是

λ

的无偏估计。

D.

{\hat{λ}}_{1}, {\hat{λ}}_{2}

均不是

λ

的无偏估计.

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二、填空题（共 2 题），请把答案直接填写在答题纸上

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{5 n} \frac{k}{n^{\frac{3}{2}} \sqrt{16 n - 3 k}} =

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9. 微分方程

3 x d y = y (1 + 2 x y^{3} \ln x) d x

满足条件

y (1) = \sqrt[3]{2}

的解为

y =

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