单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\int_0^x \mathrm{e}^{\cos t} \mathrm{~d} t, g(x)=\int_0^{\sin x} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是奇函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为奇函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为周期函数
设 $P=P(x, y, z), Q=Q(x, y, z)$ 均为连续函数， $\Sigma$ 为曲面
$$
z=\sqrt{1-x^2-y^2}(x \leq 0, y \geq 0)
$$
的上侧，则 $\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=$
$\text{A.}$ $\iint_{\Sigma}\left(\frac{x}{z} P+\frac{y}{z} Q\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$\text{B.}$ $\iint_{\Sigma}\left(-\frac{x}{z} P+\frac{y}{z} Q\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$\text{C.}$ $\iint_{\Sigma}\left(\frac{x}{z} P-\frac{y}{z} Q\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$\text{D.}$ $\iint_{\Sigma}\left(-\frac{x}{z} P-\frac{y}{z} Q\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln (2+x)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{2 n}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上有定义， 且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则 $(\quad)$
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=m$ 时， $f^{\prime}(0)=m$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(0)=m$ 时， $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=m$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=m$ 时， $f^{\prime}(0)=m$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime}(0)=m$ 时， $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=m$
在空间直角坐标系 $O-x y z$ 中，三张平面
$$
\pi_i: a_i x+b_i y+c_i z=d_i(i=1,2,3)
$$
的位置关系如下图所示.
记 $\alpha_i=\left(a_i, b_i, c_i\right), \beta_i=\left(a_i, b_i, c_i, d_i\right)$ ，若 $r\left(\begin{array}{l}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{array}\right)=m, r\left(\begin{array}{l}\beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3\end{array}\right)=n$ ，则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $m=1, n=2$
$\text{B.}$ $m=n=2$
$\text{C.}$ $m=2, n=3$
$\text{D.}$ $m=n=3$
设向量 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}a \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ b \\ a\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ a \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则（）
$\text{A.}$ $a=1, b \neq-1$
$\text{B.}$ $a=1, b=-1$
$\text{C.}$ $a \neq-2, b=2$
$\text{D.}$ $a=-2, b=2$
设 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 2 的 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 是满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=0$ 的非零向量，若对满足 $\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 的 3 维向量 $\boldsymbol{\beta}$ ，均有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $A^3$ 的迹为 2
$\text{B.}$ $A^3$ 的迹为 5
$\text{C.}$ $A^2$ 的迹为 8
$\text{D.}$ $A^2$ 的迹为 9
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X \sim N(0,2), Y \sim N(-2,2)$ ，若 $P\{2 X+Y < a\}=P\{X>Y\}$ ，则 $a=(\quad)$
$\text{A.}$ $-2-\sqrt{10}$
$\text{B.}$ $-2+\sqrt{10}$
$\text{C.}$ $-2-\sqrt{6}$
$\text{D.}$ $-2+\sqrt{6}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2(1-x), & 0 < x < 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right. \text { ， }
$$
在 $X=x(0 < x < 1)$ 的条件下，随机变量 $\boldsymbol{Y}$ 服从区间 $(x, 1)$ 上的均匀分布，则 $\operatorname{Cov}(X, Y)=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{36}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{72}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{72}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{36}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且均服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的指数分布，令 $\boldsymbol{Z}=|\boldsymbol{X}-\boldsymbol{Y}|$ ，则下列随机变量与 $\boldsymbol{Z}$ 同分布的是 ( )
$\text{A.}$ $\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}$
$\text{B.}$ $\frac{X+Y}{2}$
$\text{C.}$ $2 X$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{X}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x^2\right)^{\sin x}-1}{x^3}=6$, 则 $a=$
已知 $f(u, v)$ 存在二阶连续的偏导数，且
$$
\mathrm{d} f(1,1)=3 \mathrm{~d} u+4 \mathrm{~d} v
$$
若 $y=f\left(\cos x, 1+x^2\right)$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=$
已知 $f(x)=1+x$ ，若
$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x, x \in[0, \pi]
$$
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 \sin a_{2 n-1}=$
微分方程 $y^{\prime}=\frac{1}{(x+y)^2}$ 满足 $y(1)=0$ 的解为
已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}a+1 & a \\ a & a\end{array}\right)$, 对于任意的实向量 $\alpha=\binom{x_1}{x_2}, \boldsymbol{\beta}=\binom{y_1}{y_2}$ ，都有 $\left(\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}\right)^2 \leq \boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}$ ，则 $\boldsymbol{a}$ 的取值范围是
设随机试验每次成功的概率为 $p$ ，现进行 3 次独立重复试验，在至少成功 1 次的条件下， 3 次试验全部成功的概率为 $\frac{4}{13}$ ，则 $p=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知平面区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid \sqrt{1-y^2} \leq x \leq 1,-1 \leq y \leq 1\right\}
$$
计算 $I=\iint_D \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
已知函数 $f(x, y)=x^3+y^3-(x+y)^2+3$ ，设 $T$是曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面， $D$ 是 $T$ 与坐标平面所围成的有界区域在 $x O y$ 面上的投影。
(1) 求 $T$ 的方程;
(2) 求 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上的最大值和最小值.
设 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$.
证明：(1) 当 $x \in(0,1)$ 时，有
$|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2} ;$
(2) $\left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$.
已知向曲线 $L$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=2 x$ 与平面 $2 x-z-1=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看为逆时针方向，计算曲线积分
$$
I=\int_L\left(6 x y z-y z^2\right) \mathrm{d} x+2 x^2 z \mathrm{~d} y+x y z \mathrm{~d} z
$$
已知数列 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\},\left\{z_n\right\}$ 满足
$$
\begin{aligned}
x_0=-1, y_0 & =0, z_0=2 \text { 且 } \\
& \left\{\begin{array}{l}
x_n=-2 x_{n-1}+2 z_{n-1}, \\
y_n=-2 y_{n-1}-2 z_{n-1} \\
z_n=-6 x_{n-1}-3 y_{n-1}+3 z_{n-1}
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
记 $\alpha_n=\left(\begin{array}{l}x_n \\ y_n \\ z_n\end{array}\right)$ ，写出满足 $\alpha_n=A \alpha_{n-1}$ 的矩阵 $A$ ，并求 $A^n$ 及 $x_n, y_n, z_n(n=1,2, \cdots)$ 的通项表达式.
已知总体 $X$ 服从 $[0, \theta]$ 上的均匀分布, $\theta \in(0,+\infty)$为末知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，记
$$
X_{(n)}=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}, T_c=c X_{(n)}
$$
(1) 求 $c$ ，使得 $\boldsymbol{T}_c$ 是 $\boldsymbol{\theta}$ 的无偏估计；
(2) 记 $h(c)=E\left(T_c-\theta\right)^2$ ，求 $c$ ，使得 $h(c)$ 最小