单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
1、当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x), \beta(x)$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题:
(1) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$, 则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ；
(2) 若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$
(3) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$ ；
(4) 若 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$.
其中所有真命题序号是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(4)
$\text{C.}$ (1)(3)(4)
$\text{D.}$ (2)(3)(4)
$\int_0^2 \mathrm{~d} y \int_y^2 \frac{y}{\sqrt{1+x^3}} \mathrm{~d} x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有 2 阶导数，则（ ）
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加时， $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$ 时， $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数时， $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0, f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数
设函数 $f(t)$ 连续，令$F(x, y)=\int_0^{x-y}(x-y-t) f(t) \mathrm{d} t$ 则
$\text{A.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x}=-\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial y}, \frac{\partial^2 \boldsymbol{F}}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \boldsymbol{F}}{\partial y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
设 $p$ 为常数，若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{x^p(1-x)^{1-p}} \mathrm{~d} x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-1,1)$
$\text{B.}$ $(-1,2)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 1)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 2)$
设有数列 $\left\{x_n\right\}$ ，满足 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$ ，则（）
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\sin x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\cos x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\sin x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_n$ 存在，但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\cos x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos x_n$ 存在，但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
已知 $I_1=\int_0^1 \frac{x}{2(1+\cos x)} \mathrm{d} x, I_2=\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$, $I_3=\int_0^1 \frac{2 x}{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
设 $A$ 为三阶矩阵， $\Lambda=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$ 的充分必要条件是（）
$\text{A.}$ 存在可逆矩阵 $P, Q$ ，使得 $\boldsymbol{A}=P \Lambda Q$
$\text{B.}$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{P}^{-1}$
$\text{C.}$ 存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $A=Q \Lambda Q^{-1}$
$\text{D.}$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{P}^T$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)$ ，则 $A x=b$ 的解的情况为 $(\quad)$
$\text{A.}$ 无解
$\text{B.}$ 有解
$\text{C.}$ 有无穷多解或无解
$\text{D.}$ 有唯一解或无解
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ \lambda\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right)$, 若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\{0,1\}$
$\text{B.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R, \lambda \neq-2\}$
$\text{C.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R$ 且 $\lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$
$\text{D.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R$ 且 $\lambda \neq-1\}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{\cot x}=$
已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $x^2+x y+y^3=3$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(1)=$
$\int_0^1 \frac{2 x+3}{x^2-x+1} \mathrm{~d} x=$
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=0$ 的通解为
已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=\sin 3 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}\right)$ ，则 $L$ 围成的有界区域的面积为
设 $A$ 为 3 阶矩阵，交换 $A$ 的第二行和第三行, 再将第二列的 -1 倍加到第一列，得到矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^{-1}$的迹 $\operatorname{tr}\left(A^{-1}\right)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(e^{x^2}\right)-3 f\left(1+\sin ^2 x\right)}{x^2}=2
$$
求 $f^{\prime}(1)$.
设 $y(x)$ 是微分方程 $2 x y^{\prime}-4 y=2 \ln x-1$ 满足 $y(1)=\frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $y=y(x)(1 \leq x \leq e)$ 的弧长.
计算二重积分 $\iint_D \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 为 $y=x+2$ 与 $y=\sqrt{4-x^2}$ 以及 $x$ 轴所围成的区域.
已知可微函数 $f(u, v)$ 满足
$$
\frac{\partial f(u, v)}{\partial u}-\frac{\partial f(u, v)}{\partial v}=2(u-v) e^{-(u+v)}
$$
且 $f(u, 0)=u^2 e^{-u}$.
(1) 记 $g(x, y)=f(x, y-x)$ ，求 $\frac{\partial g(x, y)}{\partial x}$.
(2) 求 $f(u, v)$ 的表达式和极值.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 有二阶连续导数，证明 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 的充要条件为对不同实数 $a, b$ ，
$$
f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
已知二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_1^2+4 x_2^2+3 x_3^2+2 x_1 x_3
$$
(1) 求正交变换 $X=Q Y$ 将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形；
(2) 证明: $\min _{x \neq 0} \frac{f(x)}{x^T x}=2$.