2021届安徽省五校联盟第二次联考

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2021届安徽省五校联盟第二次联考

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 设集合

A = {x ∣ x^{2} - 1 > 0}, B = {x ∣ \log_{2} x > 0}

, 则

A \cap B =

( )

A.

{x ∣ x > 1}

B.

{x ∣ x > 0}

C.

{x ∣ x < - 1}

D.

{x ∣ x < - 1

或

x > 1}

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2. 已知

a, b \in R, i

是虚数单位. 若

(1 + i) (1 - b i) = a

, 则

\frac{a}{b}

的值为（　　）

A.

3

B.

2

C.

- 2

D.

- 3

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3. 下列说法中错误的是（　　）

A.

命题 “

\forall x > 1, x^{2} - x > 0

” 的否定是 “

\exists x_{0} > 1, x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0

”.

B.

在

△ A B C

中,

A < B \Leftrightarrow \sin A < \sin B \Leftrightarrow \cos A > \cos B

C.

已知某 6 个数据的平均数为 3 , 方差为 2 , 现又加入一个新数据 3 , 则此时这 7 个数的平均数和方差不变.

D.

从装有完全相同的 4 个红球和 2 个黄球的盒子中任取 2 个小球, 则事件 “至多一个红球” 与 “都是红球” 互斥且对立.

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4. 某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为（　　）

A.

2

B.

2 \sqrt{2}

C.

2 \sqrt{3}

D.

4 \sqrt{2}

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5. 已知平面向量

\vec{a} = (\sqrt{3}, - 1), | \vec{b} | = \sqrt{2}

, 且

(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 2

, 则

| \vec{a} - \vec{b} | = ()

A.

\sqrt{2}

B.

2

C.

\sqrt{3}

D.

3

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6. 电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音: “道路干万条, 安全第一条, 行车不规范, 辛人两行泪” 成为网络热句.讲的是 “开车不喝酒, 喝酒不开车” 2019 年, 公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》, 对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定, 根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准, 车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验, 一般情况下, 某人喝一瓶筥酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图,
且图表所示的函数模型

y = {\begin{cases} 40 \sin (\frac{π}{3} x) + 13, 0 \leq x < 2 \\ 90 \cdot e^{- 0.5 x} + 14, x \geq 2 \end{cases}

, 假设该人喝一瓶㗭酒后至少经过

n (n \in N^{*})

小时才可以驾车，则

n

的值为（参考数据：

\ln 15 \approx 2.71, \ln 30 \approx 3.40

）（　　）

A.

5

B.

6

C.

7

D.

8

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7. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则共有多少个这样的三位回文数（　　）

A.

B.

C.

D.

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8. 设

a = \log_{5} 4, b = \ln 2, c = π^{0.1}

, 则 ( )

A.

a < b < c

B.

b < a < c

C.

c < b < a

D.

a < c < b

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f (x) = 2 f (4 - x) - x^{2} + 2 x - 1

, 则

y = f (x)

在

(2, f (2))

处的切线方程为 ( )

A.

2 x - y - 3 = 0

B.

2 x + 3 y + 7 = 0

C.

2 x - y + 3 = 0

D.

2 x + 3 y - 7 = 0

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10. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

对的边分别为

a, b, c, \sin A + \sin B = \frac{3}{2} \sin C

当内角

C

最大且

b = 3

时,

△ A B C

的面积等于（　　）

A.

\frac{9 + 3 \sqrt{3}}{4}

B.

2 \sqrt{3}

C.

2 \sqrt{5}

D.

\frac{3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{4}

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11. 如图, 已知

F_{1}, F_{2}

分别为双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左右焦点, 过

F_{1}

的直线与双曲线

C

的左支交于

A 、 B

两点, 连接

A F_{2}, B F_{2}

, 在

△ A B F_{2}

中,

A B = B F_{2}, \cos ∠ A B F_{2} = \frac{31}{32}

, 则双曲线的离心率为（）

A.

2

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{3}

D.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

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12. 已知函数

f (x) = \cos (ω x - \frac{2 π}{3}) (ω > 0), x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3} \in [0, π]

, 且

\forall x \in [0, π]

都有

f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{2})

, 满足

f (x_{3}) = 0

的实数

x_{3}

有且只有 3 个, 给出下述四个结论:
(1)满足题目条件的实数

x_{1}

有且只有 1 个;
(2)满足题目条件的实数

x_{2}

有且只有 1 个;
(3)

f (x)

在

(0, \frac{π}{10})

上单调递增;
(4)

ω

的取值范围是

(\frac{13}{6}, \frac{19}{6}]

.
其中正确的个数是 ( )

A.

B.

C.

D.

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 若实数

x, y

满足约束条件

{\begin{cases} x - 3 y + 4 \geq 0 \\ 3 x - y - 4 \leq 0, \\ x + y \geq 0 \end{cases}

. 则

z = 3 x + 2 y

的最小值是

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14. 已知抛物线

y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点

F

到准线的距离为 2 , 过焦点

F

的直线与抛物线交于

A, B

两点, 且

| A F | = 3 | F B |

, 则线段

A B

的中点到

y

轴的距离为

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15. 若二项式

(x^{2} + \frac{a}{x})^{7}

的展开式的各项系数之和为

- 1

, 则含

x^{- 1}

项的系数是

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16. 已知菱形

A B C D

的边长为 4 , 对角线

B D = 4

, 将

△ A B D

沿着

B D

折叠, 使得二面角

A - B D - C

为

120^{\circ}

, 则三棱雉

A - B C D

的外接球的表面积为

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知数列

{a_{n}}, S_{n}

是

a_{n}

的前

n

项的和, 且满足

S_{n} = 2 a_{n} - 1 (n \in N^{*})

, 数列

{b_{n}}

是等差数列,

b_{2} + b_{6} = a_{4}, a_{5} - b_{4} = 2 b_{6} .

(1) 求

{a_{n}}, {b_{n}}

的通项公式;

(2) 设数列

{S_{n}}

的前

n

项和为

T_{n}

, 设

c_{n} = (- 1)^{n} \frac{(T_{n} + b_{n + 2}) b_{3 n + 4}}{b_{n + 1} b_{n + 2}}

, 求

c_{n}

的前

n

项的和

D_{n}

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18. 如图, 在三棱雉

A - B C D

中,

△ A B C

是边长为 3 的等边三角形,

C D = C B, C D ⊥

平面

A B C

, 点

M 、 N

分别为

A C 、 C D

的中点, 点

P

为线段

B D

上一点, 且

B M / /

平面

A P N

(1) 求证:

B M ⊥ A N

;
(2) 求平面

A P N

与平面

A B C

所成角的正弦值.

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19. 已知圆

C : (x - 1)^{2} + y^{2} = 16

, 点

F (- 1, 0), P

是圆

C

上一动点, 若线段

P F

的垂直平分线和

C P

相交于点

M

.
(1) 求点

M

的轨迹方程

E

.
(2)

A, B

是

M

的轨迹方程与

x

轴的交点 (点

A

在点

B

左边), 直线

G H

过点

T (4, 0)

与轨迹

E

交于

G, H

两点, 直线

A G

与

x = 1

交于点

N

, 求证: 动直线

N H

过定点.

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20. 公元 1651 年, 法国一位著名的统计学家德梅赫 (Demere) 向另一位著名的数学家帕斯卡 (B. Pascal) 提出了一个问题, 帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题, 后来惠更斯 (C. Huygens) 也加入了讨论, 这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答. 该问题如下: 设两名运动员约定谁先赢

k (k > 1, k \in N^{*})

局, 谁便赢得全部奖金

a

元. 每局甲赢的概率为

p (0 < p < 1)

, 乙赢的概率为

1 - p

, 且每场比赛相互独立. 在甲赢了

m (m < k)

局, 乙赢了

n (n < k)

局时, 比赛意外终止.奖金该怎么分才合理? 这三位数学家给出的答案是: 如果出现无人先赢

k

局则比赛意外终止的情况, 甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比

P_{甲} : P_{乙 分配奖金.}

（1）规定如果出现无人先赢

k

局则比赛意外终止的情况, 甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比

P_{甲} : P_{乙}

分配奖金.若

k = 4, m = 2, n = 1, p = \frac{3}{4}

, 求

P_{甲} : P_{乙}

.
(2) 记事件

A

为 “比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”, 试求当

k = 4, m = 2, n = 1

时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率

f (p)

, 并判断当

p \geq \frac{4}{5}

时, 事件

A

是否为小概率事件, 并说明理由.规定: 若随机事件发生的概率小于

0.05

, 则称该随机事件为小概率事件.

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21. 已知函数

f (x) = e^{x} (x^{2} + m x + m^{2}), g (x) = a x^{2} + x + a x \ln x

.
(1) 若函数

f (x)

在

x = - 1

处取极小值, 求实数

m

的值;
(2) 设

m = 0

, 若对任意

x \in (0, + \infty)

, 不等式

f (x) \geq g (x)

恒成立, 求实数

a

的值.

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22. 已知曲线

C

的极坐标方程是

ρ = 4 \cos θ

, 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为

x

轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直线

l

的参数方程是

{\begin{cases} x = m + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{cases}

(

t

为参数).
(1) 若直线

l

与曲线

C

相交于

A 、 B

两点, 且

| A B | = \sqrt{14}

, 试求实数

m

的值;
（2）设

M (x, y)

为曲线

C

上任意一点, 求

x + y

的取值范围.

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23. 已知函数

f (x) = | 2 x - 1 | - | x + 1 |

.
（1）求不等式

f (x) < 2

的解集;
（2）若关于

x

的不等式

f (x) \leq a - \frac{a^{2}}{2}

有解，求

a

的取值范围.

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