已知函数 $f(x)=\cos \left(\omega x-\frac{2 \pi}{3}\right)(\omega>0), x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3} \in[0, \pi]$, 且 $\forall x \in[0, \pi]$ 都有
$f\left(x_{1}\right) \leq f(x) \leq f\left(x_{2}\right)$, 满足 $f\left(x_{3}\right)=0$ 的实数 $x_{3}$ 有且只有 3 个, 给出下述四个结论:
(1)满足题目条件的实数 $x_{1}$ 有且只有 1 个;
(2)满足题目条件的实数 $x_{2}$ 有且只有 1 个;
(3) $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{10}\right)$ 上单调递增;
(4) $\omega$ 的取值范围是 $\left(\frac{13}{6}, \frac{19}{6}\right]$.
其中正确的个数是 ( )
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4