单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^a(1+x)^b} \mathrm{~d} x$ 收敛，则
$\text{A.}$ $a < 1$ 且 $b>1$
$\text{B.}$ $a>1$ 且 $b>1$
$\text{C.}$ $a < 1$ 且 $a+b>1$
$\text{D.}$ $a>1$ 且 $a+b>1$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}2(x-1), x < 1, \\ \ln x, \quad x \geq 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x-1), x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1 \\ x(\ln x+1)+1, x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, x \geq 1\end{array}\right.$
若 $y=\left(1+x^2\right)^2-\sqrt{1+x^2}, y=\left(1+x^2\right)^2+\sqrt{1+x^2}$是微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个解，则 $q(x)=$
$\text{A.}$ $3 x\left(1+x^2\right)$
$\text{B.}$ $-3 x\left(1+x^2\right)$
$\text{C.}$ $\frac{x}{1+x^2}$
$\text{D.}$ $-\frac{x}{1+x^2}$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \leq 0, \\ \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1} < x \leq \frac{1}{n}, n=1,2, \cdots\end{array}\right.$ 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4 x_1 x_2+$ $4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2$ 在空间直角坐标系下表示的二次曲面为
$\text{A.}$ 单叶双曲面
$\text{B.}$ 双叶双曲面
$\text{C.}$ 椭球面
$\text{D.}$ 柱面
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ ，记 $p=P\left\{X \leq \mu+\sigma^2\right\}$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{p}$ 随着 $\boldsymbol{\mu}$ 的增加而增加
$\text{B.}$ $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而增加
$\text{C.}$ $p$ 随着 $\boldsymbol{\mu}$ 的增加而减少
$\text{D.}$ $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而减少
随机试验 $\boldsymbol{E}$ 有三种两两不相容的结果 $A_1, A_2, A_3$ ，且三种结果发生的概率均为 $\frac{1}{3}$ ， 将试验 $E$ 独立重复 2 次， $X$ 表示 2次试验中结果 $A_1$ 发生的次数， $Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_2$ 发生的次数，则 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 的相关系数为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x t \ln (1+t \sin t) \mathrm{d} t}{1-\cos x^2}=$
向量场 $A(x, y, z)=(x+y+z) \mathbf{i}+x y \mathbf{j}+z \mathbf{k}$ 的旋度 $\operatorname{rot} A=$
设函数 $f(u, v)$ 可微， $z=z(x, y)$ 由方程
$$
(x+1) z-y^2=x^2 f(x-z, y)
$$
确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$
设函数 $f(x)=\arctan x-\frac{x}{1+a x^2}$, 且 $f^{\prime \prime \prime}(0)=1$,则 $a=$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda+1\end{array}\right|=$
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，样本均值 $\bar{x}=9.5$ ，参数 $\boldsymbol{\mu}$ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8 ，则 $\boldsymbol{\mu}$ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算二重积分 $\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为平面区域
$$
D=\left\{(r, \theta) \mid 2 \leq r \leq 2(1+\cos \theta),-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right\}
$$
设函数 $y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+k y=0$ ，其 中 $0 < k < 1$.
(1) 证明: 反常积分 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 收敛；
(2) 若 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=1$ ，求 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 的值.
设函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=(2 x+1) e^{2 x-y}$ ， $f(0, y)=y+1 ， L_t$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(1, t)$ 的光滑曲线，计算曲线积分
$$
I(t)=\int_{L_t} \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \mathrm{~d} y,
$$
并求 $I(t)$ 的最小值.
设有界区域 $\Omega$ 由平面 $2 x+y+2 z=2$ 与三个坐标平面围成， $\Sigma$ 为 $\Omega$ 整个表面的外侧，计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma}\left(x^2+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
已知函数 $f(x)$ 可导，且 $f(0)=1,0 < f^{\prime}(x) < \frac{1}{2}$, 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)(n=1,2, \cdots)$. 证明:
(1) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)$ 绝对收敛；
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，且 $0 < \lim _{n \rightarrow \infty} x_n < 2$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 1 & a\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 1 & a \\ -a-1 & -2\end{array}\right)$.
当 $a$ 为何值时，方程 $A X=B$ 无解、有唯一解，有无穷多解?
在有解时，求解此方程.
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
（1）求 $A^{99}$ ；
（2）设 3 阶矩阵 $B=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 满足 $B^2=B A$ 。记 $B^{100}=\left(\beta_1, \beta_2, \beta_3\right)$ ，将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 分别表示成 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\right\}
$$
上服从均匀分布，令 $U=\left\{\begin{array}{l}1, X \leq Y, \\ 0, X>Y .\end{array}\right.$
（1）写出 $(X, Y)$ 的概率密度；
（2）问 $U$ 与 $\boldsymbol{X}$ 是否相互独立？并说明理解；
(3) 求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{3 x^2}{\theta^3}, 0 < x < \theta, \\
0, \text { 其他, }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta \in(0,+\infty)$ 为末知参数， $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $T=\max \left(X_1, X_2, X_3\right)$.
（1）求 $T$ 的概率密度；
(2) 确定 $a$ ，使得 $a T$ 为 $\theta$ 的无偏估计.