设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\right\}
$$
上服从均匀分布，令 $U=\left\{\begin{array}{l}1, X \leq Y, \\ 0, X>Y .\end{array}\right.$
（1）写出 $(X, Y)$ 的概率密度；
（2）问 $U$ 与 $\boldsymbol{X}$ 是否相互独立？并说明理解；
(3) 求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$.