已知函数 $f(x)$ 可导，且 $f(0)=1,0 < f^{\prime}(x) < \frac{1}{2}$, 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)(n=1,2, \cdots)$. 证明:
(1) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)$ 绝对收敛；
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，且 $0 < \lim _{n \rightarrow \infty} x_n < 2$.