2013年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)

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2013年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 当

x \to 0

时，用"

o (x)

"表示比

x

高阶的无穷小，则下列式子中错误的是

A.

x \cdot o (x^{2}) = o (x^{3})

B.

o (x) \cdot o (x^{2}) = o (x^{3})

C.

o (x^{2}) + o (x^{2}) = o (x^{2})

D.

o (x) + o (x^{2}) = o (x^{2})

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2. 函数

f (x) = \frac{| x |^{x} - 1 ∣}{x (x + 1) \ln | x |}

的可去间断点的个数为

A.

B.

C.

D.

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3. 设

D_{k}

是圆域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1}

的第

k

象限的部分，记

I_{k} = \iint_{D_{k}} (y - x) d x d y (k = 1, 2, 3, 4)

，则

A.

I_{1} > 0

B.

I_{2} > 0

C.

I_{3} > 0

D.

I_{4} > 0

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4. 设

{a_{n}}

为正项数列，下列选项正确的是

A.

若

a_{n} > a_{n + 1}

, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} a_{n}

收敛

B.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} a_{n}

收敛，则

a_{n} > a_{n + 1}

C.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛，则存在常数

p > 1

，使

lim_{n \to \infty} n^{p} a_{n}

存在

D.

若存在常数

p > 1

，使

lim_{n \to \infty} n^{p} a_{n}

存在，则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛

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5. 设

A, B, C

均为

n

阶矩阵，若

A B = C

，且

B

可逆，则

A.

矩阵

C

的行向量组与矩阵

A

的行向量组等价

B.

矩阵

C

的列向量组与矩阵

A

的列向量组等价

C.

矩阵

C

的行向量组与矩阵

B

的行向量组等价

D.

矩阵

C

的列向量组与矩阵

B

的列向量组等价

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6. 矩阵

A = (\begin{array}{lll} 1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1 \end{array})

与

B = (\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

相似的充分必要条件为

A.

a = 0, b = 2

B.

a = 0 ， b

为任意常数

C.

a = 2, b = 0

D.

a = 2, b

为任意常数

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7. 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}

是随机变量，且

\begin{matrix} X_{1} \sim N (0, 1), X_{2} \sim N (0, 2^{2}), X_{3} \sim N (5, 3^{2}), \\ p_{i} = P {- 2 \leq X_{i} \leq 2} (i = 1, 2, 3), \end{matrix}

则

A.

p_{1} > p_{2} > p_{3}

B.

p_{2} > p_{1} > p_{3}

C.

p_{3} > p_{1} > p_{2}

D.

p_{1} > p_{3} > p_{2}

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8. 设随机变量

X

和

Y

相互独立，且

X

和

Y

概率分布分别为，

则

P {X + Y = 2} = ()

A.

\frac{1}{12}

B.

\frac{1}{8}

C.

\frac{1}{6}

D.

\frac{1}{2}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设曲线

y = f (x)

和

y = x^{2} - x

在点

(1, 0)

处有公共的切线，则

lim_{n \to \infty} n f (\frac{n}{n + 2}) =

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10. 设函数

z = z (x, y)

由方程

(z + y)^{x} = x y

确定，则

{\frac{\partial z}{\partial x} |}_{(1, 2)} =

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11.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{\ln x}{(1 + x)^{2}} d x =

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12. 微分方程

y^{''} - y^{'} + \frac{1}{4} y = 0

通解为

y =

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13. 设

A = (a_{i j})

是 3 阶非零矩阵，

| A |

为

A

的行列式，

A_{i j}

为

a_{i j}

的代数余子式. 若

a_{i j} + A_{i j} = 0 (i, j = 1, 2, 3)

，则

| A | =

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14. 设随机变量

X

服从标准正态分布

N (0, 1)

，则

E (X e^{2 X}) =

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 当

x \to 0

时,

1 - \cos x \cos 2 x \cos 3 x

与

a x^{n}

是等价无穷小量，求常数

n

与

a

的值.

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16. 设

D

是由曲线

y = \sqrt[3]{x}

，直线

x = a (a > 0)

及

x

轴所围成的平面图形，

V_{x}, V_{y}

分别是

D

绕

x

轴和

y

轴旋转一周所得旋转体的体积，若

10 V_{x} = V_{y}

，求

a

的值.

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17. 设平面区域

D

是由直线

x = 3 y, y = 3 x, x + y = 8

围成，计算

\iint_{D} x^{2} d x d y

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18. 设生产某产品的固定成本为 60000 元，可变成本为 20 元

/

件，价格函数为

P = 60 - \frac{Q}{1000}

(

P

是单价，单位：元，

Q

是销量，单位：件），已知产销平衡，求：
(1) 该商品的边际利润;
(2) 当

P = 50

时的边际利润，并解释其经济意义.;
(3) 使得利润最大的定价

P

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19. 设

f (x)

在

[0, + \infty)

上可导，

f (0) = 0

，且

lim_{x \to + \infty} f (x) = 2

，证明:
(1) 存在

a > 0

，使得

f (a) = 1

；
(2) 对（I)中的

a

，存在

ξ \in (0, a)

，使得

f^{'} (ξ) = \frac{1}{a}

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20. 设

A = (\begin{array}{ll} 1 & a \\ 1 & 0 \end{array}) ， B = (\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & b \end{array})

，当

a ， b

为何值时，存在矩阵

C

使得

A C - C A = B

，并求所有矩阵

C

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21. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 {(a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3})}^{2}

+ {(b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + b_{3} x_{3})}^{2}

. 记

α = (\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) ， β = (\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}) .

(1) 证明二次型

f

对应的矩阵为

2 α α^{T} + β β^{T}

;
(2) 若

α, β

正交且均为单位向量，证明

f

在正交变换下的标准形为

2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2}

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22. 设

(X, Y)

是二维随机变量，

X

的边缘概率密度为

f_{X} (x) = {\begin{array}{cc} 3 x^{2}, & 0 < x < 1 \\ 0, & 其他 \end{array}

在给定

X = x (0 < x < 1)

的条件下，

Y

的条件概率密度为
(1) 求

(X, Y)

的概率密度

f (x, y)

；
(2) 求

Y

的边缘概率密度

f_{Y} (y)

；
(3) 求

P {X > 2 Y}

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23. 设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = {\begin{cases} \frac{θ^{2}}{x^{3}} e^{- \frac{θ}{x}}, x > 0 \\ 0, & 其他 \end{cases}

其中

θ

为未知参数且大于零，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本。
(1) 求

θ

的矩估计量;
(2) 求

θ

的最大似然估计量.

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